初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級上冊3.1勾股定理同步練習(xí)

更新時間：2021-06-21 瀏覽次數(shù)：194 類型：同步測試

一、單選題

1. (2021八上·邗江期末) 如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點，則MC²－MB²等于（）

A . 29 B . 32 C . 36 D . 45

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2. (2020八上·無錫期中) 如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊(x＞1)，請觀察圖案，指出以下關(guān)系式中不正確的是（）

A . x²+y²=49 B . x－y＝2 C . 2xy+4=49 D . x+y=9

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3. (2022八上·寶雞月考) 如圖，“趙爽弦圖”由4個全等的直角三角形所圍成，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若圖中大正方形的面積為48，小正方形的面積為6，則 $\text{[math]}$ 的值為（）

A . 60 B . 79 C . 84 D . 90

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4. (2020八上·宜興期中) “趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形.設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b.若ab＝8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為（）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1.5

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5. (2020八上·無錫期中) 如圖，分別以直角三角形各邊為一邊向三角形外部作正方形，其中兩個小正方形的面積分別為9和25，則正方形A的面積是（）

A . 16 B . 32 C . 34 D . 64

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6. (2020八下·江蘇月考) 如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=15，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積之和為（）

A . 150 B . 200 C . 225 D . 無法計算

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7. (2021八下·辛集期末) 如圖，一棵大樹在離地面3 $\text{[math]}$ ，5 $\text{[math]}$ 兩處折成三段，中間一段 $\text{[math]}$ 恰好與地面平行，大樹頂部落在離大樹底部6 $\text{[math]}$ 處，則大樹折斷前的高度是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2019八上·泗洪月考) 在△ABC中，若AB=15，AC=13，高AD=12，則△ABC的周長是（）

A . 42 B . 32 C . 42或32 D . 37或33

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9. (2020八下·哈爾濱月考) 在直角三角形ABC中，斜邊AB=2，則AB²+BC²+AC²=（）

A . 2 B . 4 C . 6 D . 8

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10. (2019八上·通州期末) 銳角△ABC中，AB=a-1，AC=a，BC=a+1（a＞4），BD⊥AC于點D.則CD-DA的值為（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 4

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11. (2021八上·杭州期末) 如圖所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點，則MC²-MB²等于（）

A . 9 B . 35 C . 45 D . 無法計算

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12. (2024八上·普寧月考) 在△ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 邊上的高 $\text{[math]}$ ，則邊 $\text{[math]}$ 的長為（）

A . 4 B . 14 C . 4 或14 D . 8或14

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13. (2023八下·岷縣期末) 下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A . 2、3、4 B . 3、4、5 C . 4、5、6 D . 5、6、7

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14. (2018八上·宜興期中) 下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的（）

A . ，，1 B . 1，2，3 C . 1.5，2，2.5 D . 9，40，41

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15.
圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC=6，BC=5，將四個直角三角形中的邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（　　）

A . 51 B . 49 C . 76 D . 無法確定

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二、填空題

16. (2021八上·建鄴期末) 如圖，在四邊形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，分別以四邊向外做正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面積為30，乙的面積為16，丙的面積為17，則丁的面積為.

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17. (2024八下·大石橋月考) 若一直角三角形的兩邊長為4、5，則第三邊長的平方為

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18. (2020八上·鹽城期中) 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AC、AB為邊長向外作正方形，且它們的面積分別為9和25，則Rt△ABC的面積為.

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19. (2020八上·無錫期中) 一個直角三角形三邊的長a、b、c都是整數(shù)，且滿足a＜b＜c，a+c=49.則b的值為.

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20. (2020八上·阜寧月考) 直角三角形三邊長分別為5，12，x，則x²=.

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21. (2020八上·常熟月考) 一直角三角形的斜邊長比直角邊長大2，另一直角邊長為6，則斜邊長為

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22. (2020八上·南京月考) 已知直角三角形兩直角邊長分別為5與12，則第三邊長為

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23. (2020八上·東臺期末) 長方形的一條對角線的長為10cm，一邊長為6cm，它的面積是cm².

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24. (2020八上·大豐期末) 如圖，學(xué)校有一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”.他們僅僅少走了步路(假設(shè)2步為1米)，卻踩傷了花草.

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25. (2022八上·長春期末) 一直角三角形兩邊分別為5，12，則這個直角三角形第三邊的長.

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26. (2019八下·海安期中) 如圖，正方形ABCD的邊長為2，其面積標(biāo)記為S₁ ，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S₂ ， ……按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S₂₀₁₉的值為.

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27. (2020八下·南昌期末) 若一個直角三角形的其中兩條邊長分別為6和8，則第三邊長為.

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28. (2019八上·連云港期末) 如圖， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，則加固小樹的木棒DE的長是 $\text{[math]}$

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29. (2019八上·四川月考) 如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2，在AC上截取CD＝CB．在AB上截取AP＝AD，則AP＝．

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30. (2018八上·泰州期中) 為了推廣城市綠色出行，小藍車公司準(zhǔn)備在十圩港沿岸AB段建設(shè)一個共享單車停放點，該路段附近有兩個廣場C和D（如圖），CA⊥AB于A、DB⊥AB于B，AB=4km，CA=2km，DB=1km．則停放點E應(yīng)建在距點Akm處，才能使它到兩廣場的距離相等．

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31. (2018八上·泗陽期中) 在Rt△ABC中， $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$

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三、解答題

32. (2021八上·濱海期末) 定義：如圖，點M、N把線段 $\text{[math]}$ 分割成 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，若以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段 $\text{[math]}$ 的勾股分割點.已知點M、N是線段 $\text{[math]}$ 的勾股分割點，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的長.

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33. (2021八上·蘇州期末) 三國時代東吳數(shù)學(xué)家趙爽（字君卿，約公元3世紀(jì)）在《勾股圓方圖注》一書中用割補的方法構(gòu)造了“弦圖”（如圖1，并給出了勾股定理的證明．已知，圖2中涂色部分是直角邊長為 $\text{[math]}$ ，斜邊長為 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 個直角三角形，請根據(jù)圖2利用割補的方法驗證勾股定理．

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34. (2019八上·泰州月考) 勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小明靈感，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)四個全等的直角三角形如圖擺放時，可以用“面積法"來證明 $\text{[math]}$ .請你寫出證明過程.

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35. (2019八上·泗洪月考) 直角三角形兩直角邊長分別為AB=5和BC=12，求它斜邊 AC 上的高.

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36. (2018八上·東臺月考) 如圖，將邊長為a與b、對角線長為c的長方形紙片 $\text{[math]}$ ，繞點 $\text{[math]}$ 順時針旋轉(zhuǎn) $\text{[math]}$ 得到長方形 $\text{[math]}$ ，連接 $\text{[math]}$ ，則四邊形 $\text{[math]}$ 為梯形，請通過該圖驗證勾股定理（求證： $\text{[math]}$ ）.

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37. (2019七上·文登期中) A，B兩個居民樓在公路同側(cè)，它們離公路的距離分別為AE＝200米，BF＝70米，它們的水平距離EF＝390米．現(xiàn)欲在公路旁建一個超市P，使超市到兩居民樓的距離相等，則超市應(yīng)建何處？為什么？

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四、綜合題

38. (2020八上·大豐期末) 如圖，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，垂足為點 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的長；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的長.
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39. (2017八上·南京期末) 一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的證明方法.如圖2，火柴盒的一個側(cè)面ABCD倒下到AEFG的位置，連結(jié)CF，AB＝a，BC＝b，AC＝c.
1. （1）請你結(jié)合圖1用文字和符號語言分別敘述勾股定理；
2. （2）請利用直角梯形BCFG的面積證明勾股定理： $\text{[math]}$ .
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40.
我們運用圖（Ⅰ）中大正方形的面積可表示為（a+b）² ，也可表示為c³+4（ $\text{[math]}$ ab），即（a+b）²=c²+4（ $\text{[math]}$ ab）由此推導(dǎo)出一個重要的結(jié)論a²+b²=c² ，這個重要的結(jié)論就是著名的“勾股定理”．這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱“無字證明”．
1. （1）請你用圖（Ⅱ）（2002年國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)）的面積表達式驗證勾股定理（其中四個直角三角形的較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c）．
2. （2）請你用（Ⅲ）提供的圖形進行組合，用組合圖形的面積表達式驗證：（x+2y）²=x²+4xy+4y² ．
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