備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)細(xì)點(diǎn)逐一突破真題訓(xùn)練第14章銳角三角函...

更新時(shí)間：2023-05-08 瀏覽次數(shù)：113 類型：二輪復(fù)習(xí)

一、解直角三角形

1. (2022九上·芝罘期中) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，則下列式子定成立的是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023九上·沭陽期末) 在直角三角形ABC中， $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 3

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3. (2022·德宏模擬) 如圖所示，塔底B與觀測點(diǎn)A在同一水平面上．為了測量鐵塔的高度，在A處測得塔頂C的仰角為α，塔底B與觀測點(diǎn)A的距離為150米，則鐵塔的高BC為（）

A . 150tanα米 B . $\text{[math]}$ 米 C . sinα米 D . $\text{[math]}$ 米

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二、特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算

4. (2020九上·浦東期中) 下列計(jì)算中錯(cuò)誤的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023·鄖西模擬) 如圖，已知點(diǎn)B，D，C在同一直線的水平，在點(diǎn)C處測得建筑物AB的頂端A的仰角為α，在點(diǎn)D處測得建筑物AB的頂端A的仰角為β， $\text{[math]}$ ，則建筑物AB的高度為（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023·福田模擬) 計(jì)算：
$\text{[math]}$

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三、背靠背型-實(shí)際應(yīng)用

7. (2022·達(dá)州) 某老年活動中心欲在一房前3m高的前墻（ $\text{[math]}$ ）上安裝一遮陽篷 $\text{[math]}$ ，使正午時(shí)刻房前能有2m寬的陰影處（ $\text{[math]}$ ）以供納涼，假設(shè)此地某日正午時(shí)刻太陽光與水平地面的夾角為63.4°，遮陽篷 $\text{[math]}$ 與水平面的夾角為10°，下圖為側(cè)面示意圖，請你求出此遮陽篷 $\text{[math]}$ 的長度（結(jié)果精確到0.1m）.（參考數(shù)據(jù)： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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8. (2023·白堿灘模擬) 某班同學(xué)在一次綜合實(shí)踐課上，測量校園內(nèi)一棵樹的高度．如圖，測量儀在A處測得樹頂D的仰角為45°，C處測得樹頂D的仰角為37°（點(diǎn)A，B，C在一條水平直線上），已知測量儀高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求樹BD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

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四、母子型-實(shí)際應(yīng)用

9. (2022·棗莊) 為傳承運(yùn)河文明，弘揚(yáng)民族精神，棗莊市政府重建了臺兒莊古城．某?！熬C合與實(shí)踐”小組開展了測量臺兒莊古城城門樓（如圖①）高度的實(shí)踐活動，請你幫他們完成下面的實(shí)踐報(bào)告．

測量臺兒莊古城城門樓高度的實(shí)踐報(bào)告

活動課題	測量臺兒莊古城城門樓高度
活動目的	運(yùn)用三角函數(shù)知識解決實(shí)際問題
活動工具	測角儀、皮尺等測量工具
方案示意圖		測量步驟	如圖② ⑴利用測角儀站在B處測得城門樓最高點(diǎn)P的仰角為39°； ⑵前進(jìn)了10米到達(dá)A處（選擇測點(diǎn)A，B與O在同一水平線上，A，B兩點(diǎn)之間的距離可直接測得，測角儀高度忽略不計(jì)），在A處測得P點(diǎn)的仰角為56°．
參考數(shù)據(jù)	sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．
計(jì)算城門樓PO的高度（結(jié)果保留整數(shù)）

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10. (2022·東營) 勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”.已知主塔 $\text{[math]}$ 垂直于橋面 $\text{[math]}$ 于點(diǎn)B，其中兩條斜拉索 $\text{[math]}$ 與橋面 $\text{[math]}$ 的夾角分別為 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，兩固定點(diǎn)D、C之間的距離約為 $\text{[math]}$ ，求主塔 $\text{[math]}$ 的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)： $\text{[math]}$ ）

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11. (2020九上·任城期末) 為了學(xué)生的安全，某校決定把一段如圖所示的步梯路段進(jìn)行改造．已知四邊形 $\text{[math]}$ 為矩形， $\text{[math]}$ ，其坡度為 $\text{[math]}$ ，將步梯 $\text{[math]}$ 改造為斜坡 $\text{[math]}$ ，其坡度為 $\text{[math]}$ ，求斜坡 $\text{[math]}$ 的長度．（結(jié)果精確到 $\text{[math]}$ ，參考數(shù)據(jù)： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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12. (2022·蘭州) 如圖，小睿為測量公園的一涼亭AB的高度，他先在水平地面點(diǎn)E處用高1.5m的測角儀DE測得 $\text{[math]}$ ，然后沿EB方向向前走3m到達(dá)點(diǎn)G處，在點(diǎn)G處用高1.5m的測角儀FG測得 $\text{[math]}$ ．求涼亭AB的高度．（A，C，B三點(diǎn)共線， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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13. (2022九下·開封月考) 我國航天事業(yè)捷報(bào)頻傳，天舟二號于2021年5月29日成功發(fā)射，震撼人心.當(dāng)天舟二號從地面到達(dá)點(diǎn)A處時(shí)，在P處測得A點(diǎn)的仰角 $\text{[math]}$ 為 $\text{[math]}$ 且A與P兩點(diǎn)的距離為6千米，它沿鉛垂線上升75秒后到達(dá)B處，此時(shí)在P處測得B點(diǎn)的仰角 $\text{[math]}$ 為 $\text{[math]}$ ，求天舟二號從A處到B處的平均速度.（結(jié)果精確到 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ ）

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五、擁抱型-實(shí)際應(yīng)用

14. (2022·寧津模擬) 如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動中，小明同學(xué)要測量一座與地面垂直的古塔 $\text{[math]}$ 的高度，他從古塔底部點(diǎn)B處前行 $\text{[math]}$ 到達(dá)斜坡 $\text{[math]}$ 的底部點(diǎn)C處，然后沿斜坡 $\text{[math]}$ 前行 $\text{[math]}$ 到達(dá)最佳測量點(diǎn)D處，在點(diǎn)D處測得塔頂A的仰角為 $\text{[math]}$ ，已知斜坡的斜面坡度 $\text{[math]}$ ，且點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，小明同學(xué)測得古塔 $\text{[math]}$ 的高度是（　?。?

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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15. (2023·碧江模擬) 在一次綜合實(shí)踐活動中，某小組對一建筑物進(jìn)行測量．如圖，在山坡坡腳C處測得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達(dá)D處，測得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，請你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度 $\text{[math]}$ ．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)： $\text{[math]}$ ）

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16. (2021·鄂州) 在全民健身運(yùn)動中，騎行運(yùn)動頗受市民青睞.一市民騎自行車由A地出發(fā)，途經(jīng)B地去往C地，如圖.當(dāng)他由A地出發(fā)時(shí)，發(fā)現(xiàn)他的北偏東 $\text{[math]}$ 方向有一信號發(fā)射塔P.他由A地沿正東方向騎行 $\text{[math]}$ km到達(dá)B地，此時(shí)發(fā)現(xiàn)信號塔P在他的北偏東 $\text{[math]}$ 方向，然后他由B地沿北偏東 $\text{[math]}$ 方向騎行12km到達(dá)C地.
1. （1）求A地與信號發(fā)射塔P之間的距離；
2. （2）求C地與信號發(fā)射塔P之間的距離.（計(jì)算結(jié)果保留根號）
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17. (2021·遂寧) 小明周末與父母一起到遂寧濕地公園進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐活動，在A處看到B、C處各有一棵被湖水隔開的銀杏樹，他在A處測得B在北偏西45°方向， C在北偏東30°方向，他從A處走了20米到達(dá)B處，又在B處測得C在北偏東60°方向.
1. （1）求∠C的度數(shù)；
2. （2）求兩顆銀杏樹B、C之間的距離（結(jié)果保留根號）.
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六、綜合應(yīng)用型

18. (2022·自貢) 某數(shù)學(xué)興趣小組自制測角儀到公園進(jìn)行實(shí)地測量，活動過程如下：
1. （1）探究原理制作測角儀時(shí)，將細(xì)線一段固定在量角器圓心 $\text{[math]}$ 處，另一端系小重物 $\text{[math]}$ .測量時(shí)，使支桿 $\text{[math]}$ 、量角器90°刻度線 $\text{[math]}$ 與鉛垂線 $\text{[math]}$ 相互重合（如圖①），繞點(diǎn) $\text{[math]}$ 轉(zhuǎn)動量角器，使觀測目標(biāo) $\text{[math]}$ 與直徑兩端點(diǎn) $\text{[math]}$ 共線（如圖②），此目標(biāo) $\text{[math]}$ 的仰角 $\text{[math]}$ .請說明兩個(gè)角相等的理由.
2. （2）實(shí)地測量
  如圖③，公園廣場上有一棵樹，為了測量樹高，同學(xué)們在觀測點(diǎn) $\text{[math]}$ 處測得頂端 $\text{[math]}$ 的仰角 $\text{[math]}$ ，觀測點(diǎn)與樹的距離 $\text{[math]}$ 為5米，點(diǎn) $\text{[math]}$ 到地面的距離 $\text{[math]}$ 為1.5米；求樹高 $\text{[math]}$ . （ $\text{[math]}$ ，結(jié)果精確到0.1米）
3. （3）拓展探究
  公園高臺上有一涼亭，為測量涼亭頂端 $\text{[math]}$ 距離地面高度 $\text{[math]}$ （如圖④），同學(xué)們討論，決定先在水平地面上選取觀測點(diǎn) $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 在同一直線上），分別測得點(diǎn) $\text{[math]}$ 的仰角 $\text{[math]}$ ，再測得 $\text{[math]}$ 間的距離 $\text{[math]}$ ，點(diǎn) $\text{[math]}$ 到地面的距離 $\text{[math]}$ 均為1.5米；求 $\text{[math]}$ （用 $\text{[math]}$ 表示）.
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19. (2023·北侖模擬) 如圖1是鋼琴緩降器，圖2和圖3是鋼琴緩降器兩個(gè)位置的示意圖． $\text{[math]}$ 是緩降器的底板，壓柄 $\text{[math]}$ 可以繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，液壓伸縮連接桿 $\text{[math]}$ 的端點(diǎn) $\text{[math]}$ 分別固定在壓柄 $\text{[math]}$ 與底板 $\text{[math]}$ 上，已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如圖2，當(dāng)壓柄 $\text{[math]}$ 與底座 $\text{[math]}$ 垂直時(shí)， $\text{[math]}$ 約為 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的長；
2. （2）現(xiàn)將壓柄 $\text{[math]}$ 從圖2的位置旋轉(zhuǎn)到與 $\text{[math]}$ 成 $\text{[math]}$ 角（即 $\text{[math]}$ ），如圖3的所示，求此時(shí)液壓伸縮連接桿 $\text{[math]}$ 的長．（結(jié)果保留根號）
  （參考數(shù)據(jù)： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ）
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20. (2023·廣西模擬) 綜合與實(shí)踐：在學(xué)習(xí)《解直角三角形》一章時(shí)，小邕同學(xué)對一個(gè)角的倍角的三角函數(shù)值與這個(gè)角的三角函數(shù)值是否有關(guān)系產(chǎn)生了濃厚的興趣，并進(jìn)行研究.
1. （1）【初步嘗試】我們知道： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  
  發(fā)現(xiàn)： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （填“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ”）.
2. （2）【實(shí)踐探究】在解決“如圖1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值”這一問題時(shí)，小邕想構(gòu)造包含 $\text{[math]}$ 的直角三角形，延長 $\text{[math]}$ 到點(diǎn)D，使 $\text{[math]}$ ，連接BD，所以可得 $\text{[math]}$ ，問題即轉(zhuǎn)化為求 $\text{[math]}$ 的正切值，請按小邕的思路求 $\text{[math]}$ 的值.
3. （3）【拓展延伸】如圖2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .請模仿小邕的思路或者用你的新思路，試著求一求 $\text{[math]}$ 的值.
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