勾股定理—北師大版數(shù)學(xué)八（上）知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練

更新時(shí)間：2024-10-28 瀏覽次數(shù)：63 類型：復(fù)習(xí)試卷

一、勾股定理

1. (2024八上·福田開學(xué)考) 閱讀：勾股定理是指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．用數(shù)學(xué)語言表達(dá)為： $\text{[math]}$ ，根據(jù)閱讀資料，完成以下題目：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ （）

A . 5 B . 12 C . 17 D . 13

答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
2. (2024八下·合肥月考) 若一直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，則斜邊長(zhǎng)為（）

A . 13 B . $\text{[math]}$ C . 13或15 D . 15

答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
3. (2024八下·武城月考) 若△ABC中，AB=25cm，AC=26cm，高AD=24，則BC的長(zhǎng)為（）

A . 17 B . 3 C . 17或3 D . 以上都不對(duì)

答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
4. (2024八上·坪山期末) 如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A ， B ， C都在格點(diǎn)上，以A為圓心，AB為半徑畫弧，交最上方的網(wǎng)格線于點(diǎn)D ，則CD的長(zhǎng)為（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2.2 D . 3 $\text{[math]}$

答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
5. (2024八下·廬江期中) 如圖，陰影部分是兩個(gè)正方形，其他三個(gè)圖形是一個(gè)正方形和兩個(gè)直角三角形，則陰影部分的面積之和為.

答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
6. (2024八上·綠園期末) 如圖，A，B，C是三個(gè)正方形，當(dāng)B的面積為144，C的面積為169時(shí)，則A的面積為．

答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
7. (2021八上·揭陽月考) 如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫出圖形．
1. （1）在圖1中，畫一個(gè)直角三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)；
2. （2）在圖2中，畫一個(gè)正方形，使它的面積是5．
答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
8. (2024八上·雅安期末) 如圖， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè) $\text{[math]}$ ．
1. （1）用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ；
2. （2）當(dāng) $\text{[math]}$ 為何值時(shí)， $\text{[math]}$ ；
3. （3）代數(shù)式 $\text{[math]}$ 是否有最小值，若有請(qǐng)求出最小值，若沒有請(qǐng)說明理由
答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
9. (2023八上·綏德月考) 分析探索題：細(xì)心觀察如圖所示的圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題．

      $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

      $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

      $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）請(qǐng)用含n（n為正整數(shù)）的等式表示 $\text{[math]}$ ；
2. （2）推算出 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）求出 $\text{[math]}$ 的值．
答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
10. (2023八上·邛崍?jiān)驴? 閱讀材料，解決問題：
我們可以在網(wǎng)格紙中通過構(gòu)造三角形的方法來比較無理數(shù)的大小，例如在圖1中，正方形網(wǎng)格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，線段AB的長(zhǎng)度為 $\text{[math]}$ ，線段BC的長(zhǎng)度為 $\text{[math]}$ ，顯然， $\text{[math]}$ ．
1. （1）試比較 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 的大小，并說明理由；
2. （2）請(qǐng)?jiān)趫D2中嘗試用構(gòu)造圖形的方法比較 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 的大小，在圖3中嘗試用構(gòu)造圖形的方法比較 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 的大??；
3. （3）請(qǐng)運(yùn)用以上的構(gòu)圖思想，在圖4中構(gòu)圖，并求出 $\text{[math]}$ 的最小值．
答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題

二、勾股定理的逆定理

11. (2024八下·鹽山期中) 在單位長(zhǎng)度為1的正方形網(wǎng)格中，下面的三角形是直角三角形的是（　　）

A . B . C . D .

答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
12. (2024八下·南寧月考) 下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（　?。?/p>

A . 4，5，6 B . 3，4，5 C . 2，3，4 D . 1，2，3

答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
13. (2024八下·永豐期末) 下列條件：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，能判定 $\text{[math]}$ 是直角三角形的有（）

A . 4個(gè) B . 3個(gè) C . 2個(gè) D . 1個(gè)

答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
14. (2024八下·上思月考) 若一個(gè)三角形的三邊滿足 $\text{[math]}$ ，則這個(gè)三角形是。

答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
15. (2023八上·坪山期中) 如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC=12，AB＝13，點(diǎn)D是Rt△ABC外一點(diǎn)，連接DC、DB ，且CD＝4，BD=3.
1. （1）求BC的長(zhǎng)；
2. （2）求證：△BCD是直角三角形．
答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
16. (2021八上·清新期中) 閱讀理解，在平面直角坐標(biāo)系中，P₁(x₁ ， y₁)，P₂(x₂ ， y₂)，如何求P₁P₂的距離．
如圖1，作Rt△P₁P₂Q，在Rt△P₁P₂Q中， $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ．因此，我們得到平面上兩點(diǎn)P₁(x₁ ， y₁)，P₂(x₂ ， y₂)之間的距離公式為 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ．
根據(jù)上面得到的公式，解決下列問題：
1. （1）已知平面兩點(diǎn)A(－3，4)，B(5，10)，求AB的距離；
2. （2）若平面內(nèi)三點(diǎn)A(－2，2)，B(5，－2)，C(1，4)，試判斷△ABC的形狀，說明理由；
3. （3）如圖2，在有對(duì)稱美的正方形AOBC中，A(－4，3)，點(diǎn)D在OA邊上，且D(－1， $\text{[math]}$ )，直線l經(jīng)過O，C兩點(diǎn)，點(diǎn)E是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求DE＋EA的最小值．
答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題

三、勾股數(shù)

17. (2024八下·祁陽期中) 判斷下列幾組數(shù)中，一定是勾股數(shù)的是（　?。?br>

A . 1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . 8，15，17 C . 7，14，15 D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 1

答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
18. (2024八下·斗門期中) 有一組勾股數(shù)，其中的兩個(gè)分別是8和17，則第三個(gè)數(shù)是

答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
19. (2024八下·西華月考) 閱讀：能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)a，b，c，稱為勾股數(shù)．世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為： $\text{[math]}$ 其中m＞n＞0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù)．
應(yīng)用：當(dāng)n=1時(shí)，求有一邊長(zhǎng)為5的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)．

答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題

四、勾股定理的證明

20. (2021八上·高州月考) 我國漢代的趙爽在注釋《周髀算經(jīng)》時(shí)給出了勾股定理的無字證明，人們稱它為“趙爽弦圖”，“趙爽弦圖”指的是（）

A . B . C . D .

答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
21. (2021八上·順德期末) 下面圖形能夠驗(yàn)證勾股定理的有（　　）個(gè)

A . 4個(gè) B . 3個(gè) C . 2個(gè) D . 1個(gè)

答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
22. (2019八上·即墨期中) 勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理．在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長(zhǎng)相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理．圖2是把圖1放入長(zhǎng)方形內(nèi)得到的， $\text{[math]}$ ，AB=3，AC=4，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G，H，I都在長(zhǎng)方形KLMJ的邊上，則長(zhǎng)方形KLMJ的面積為．

答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
23. (2023八上·南海月考) 問題再現(xiàn)：
數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀，從而可以幫助我們快速解題．初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．
1. （1）如圖①，是一個(gè)重要公式的幾何解釋．請(qǐng)你寫出這個(gè)公式：______；
2. （2）如圖②，是由兩塊全等的直角三角形拼接成的梯形，點(diǎn)B、E、C在同一條直線上，請(qǐng)根據(jù)圖②證明勾股定理．
3. （3）如圖③，如果以 $\text{[math]}$ 的三邊長(zhǎng)a，b，c為直徑向外作半圓，半圓的面積分別為 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，試猜想 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之間存在的等量關(guān)系______；并說明理由．
4. （4）如圖④，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，三邊分別為5、12、13，分別以它的三邊為直徑向上作半圓，求圖④中陰影部分的面積．
答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
24. (2024八上·紫金期末) 如圖， $\text{[math]}$ 為 $\text{[math]}$ 上一點(diǎn)， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于點(diǎn) $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）判斷線段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
2. （2）連接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若設(shè) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用此圖證明勾股定理.
答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題
25. (2024八上·南寧期末) 數(shù)學(xué)家波利亞說過：“為了得到一個(gè)方程，我們必須把同一個(gè)量用兩種不同的方法表示出來，即將一個(gè)量算兩次，從而建立等量關(guān)系．”類似的，我們可以用兩種不同的方法來表示同一個(gè)圖形的面積，從而得到一個(gè)等式．
1. （1）如圖 $\text{[math]}$ ，大正方形是由兩個(gè)小正方形和兩個(gè)形狀大小完全相同的長(zhǎng)方形拼成，請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖中大正方形的面積．
  方法 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ；方法 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ；根據(jù)以上信息，可以得到的等式是；
2. （2）如圖 $\text{[math]}$ ，大正方形是由四個(gè)邊長(zhǎng)分別為 $\text{[math]}$ 的直角三角形（ $\text{[math]}$ 為斜邊）和一個(gè)小正方形拼成，請(qǐng)用兩種不同的方法分別表示小正方形的面積，并推導(dǎo)得到 $\text{[math]}$ 之間的數(shù)量關(guān)系；
3. （3）在（ $\text{[math]}$ ）的條件下，若 $\text{[math]}$ ，求斜邊 $\text{[math]}$ 的值．
答案解析收藏糾錯(cuò) + 選題