【培優(yōu)卷】2024年北師大版數(shù)學(xué)八（下）4.3 公式法同步...

更新時(shí)間：2024-03-24 瀏覽次數(shù)：36 類型：同步測(cè)試

一、選擇題

1. 已知實(shí)數(shù)（x²﹣x）²﹣4（x²﹣x）﹣12=0，則代數(shù)式x²﹣x+1的值為（）

A . ﹣1 B . 7 C . ﹣1或7 D . 以上全不正確

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2. (2016·賀州) n是整數(shù)，式子 $\text{[math]}$ [1﹣（﹣1）ⁿ]（n²﹣1）計(jì)算的結(jié)果（　?。?br>

A . 是0 B . 總是奇數(shù) C . 總是偶數(shù) D . 可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)

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3. 如果一個(gè)數(shù)等于兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么我們稱這個(gè)數(shù)為“幸福數(shù)”.下列數(shù)中，屬于“幸福數(shù)”的是（）

A . 205 B . 250 C . 502 D . 520

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4. (2023九上·蒼南模擬) 已知n(n≥8)個(gè)正實(shí)數(shù) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ···， $\text{[math]}$ 滿足 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，其中q是不為1的正數(shù).則 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，與 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的大小關(guān)系為（）

A . 大于 B . 等于 C . 小于 D . 不能確定

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5. 已知a，b，c為△ABC三邊，且滿足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴ ，則它的形狀為（）

A . 等邊三角形 B . 直角三角形 C . 等腰三角形 D . 等腰三角形或直角三角形

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6. (2023八上·鳩江月考) 已知a，b，c分別是△ABC的三邊長(zhǎng)，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，則△ABC的周長(zhǎng)是（）

A . 3 B . 6 C . 8 D . 12

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7. (2024八上·期中) 若將多項(xiàng)式 $\text{[math]}$ 因式分解為 $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ 的值為（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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8. (2020·揚(yáng)州模擬) 我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數(shù)，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解，并規(guī)定：F（n）= $\text{[math]}$ .例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因?yàn)?2﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= $\text{[math]}$ .如果一個(gè)兩位正整數(shù)t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)），交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來(lái)的兩位正整數(shù)所得的差為36，那么我們稱這個(gè)數(shù)t為“吉祥數(shù)”.根據(jù)以上新定義，下列說(shuō)法正確的有：（1）F（48）= $\text{[math]}$ ；（2）如果一個(gè)正整數(shù)m是另外一個(gè)正整數(shù)n的平方，我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù)，則對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m，總有F（m）=1；（3）15和26是“吉祥數(shù)”；（4）“吉祥數(shù)”中，F(xiàn)（t）的最大值為 $\text{[math]}$ . （）

A . 1個(gè) B . 2個(gè) C . 3個(gè) D . 4個(gè)

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二、填空題

9. 在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（x+1）（x+2）（2x+3）（x+6）-20x⁴=．

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10. (2023九上·濟(jì)寧月考) 一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別為 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若周長(zhǎng)為 $\text{[math]}$ ，面積為 $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ 的值為．

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11. (2024八下·成都期中) 已知 $\text{[math]}$ ，則代數(shù)式 $\text{[math]}$ 的值為.

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12. (2024八上·東莞期末) 數(shù)3⁴⁸﹣1能被30以內(nèi)的兩位數(shù)（偶數(shù)）整除，這個(gè)數(shù)是．

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13. (2023九上·濟(jì)寧月考) 閱讀材料回答問(wèn)題：已知多項(xiàng)式 $\text{[math]}$ 有一個(gè)因式是 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
解法：設(shè) $\text{[math]}$ 為整式 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 上式為恒等式，
$\text{[math]}$ 當(dāng) $\text{[math]}$ 時(shí)， $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．
解得： $\text{[math]}$ ．
若多項(xiàng)式 $\text{[math]}$ 含有因式 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ ．

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三、計(jì)算題

14. (2023九上·濟(jì)寧月考) 把下列各式因式分解．
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ ；
3. （3） $\text{[math]}$ ；
4. （4） $\text{[math]}$ ．
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15. (2018·聊城模擬) （y–z）²+（x–y）²+（z–x）²=（y+z–2x）²+（z+x–2y）²+（x+y–2z）² ．求 $\text{[math]}$ 的值．

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四、實(shí)踐探究題

16. 分解因式有一種很重要的方法叫“十字相乘法”，常用于二次三項(xiàng)式的分解因式，實(shí)質(zhì)是逆用多項(xiàng)式的乘法過(guò)程：x²+( a+b)x+ab=(x+a)(x+b)．這個(gè)方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別都拆成兩個(gè)因數(shù)的積，并使這兩組因數(shù)交叉相乘再求和等于一次項(xiàng)系數(shù)．
例如：
1. （1）分解因式：
  ①x²+2x-24=
  ②6x²-7x-3=
2. （2）參考以上方法解方程：
  ①x²+2x-35=0；
  ②4x²-16x+15=0．
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17. (2023九上·濟(jì)寧月考) 教科書中這樣寫道：“形如 $\text{[math]}$ 的式子稱為完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法 $\text{[math]}$ 配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式最大值、最小值等問(wèn)題．
例如：分解因式： $\text{[math]}$ ．
解：原式 $\text{[math]}$ ；
再如：求代數(shù)式 $\text{[math]}$ 的最小值．
解： $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ 原式 $\text{[math]}$ ，
即當(dāng) $\text{[math]}$ 時(shí)，原式有最小值 $\text{[math]}$ ．
學(xué)以致用：
1. （1）用配方法分解因式： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 其他方法不得分 $\text{[math]}$
2. （2）用配方法求多項(xiàng)式 $\text{[math]}$ 的最大值？并求出此時(shí) $\text{[math]}$ 的值．
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18. (2023八下·高陵期末) 閱讀下列材料：將一個(gè)形如 $\text{[math]}$ 的二次三項(xiàng)式因式分解時(shí)，如果能滿足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，則可以把 $\text{[math]}$ 因式分解成 $\text{[math]}$ ．
例如：① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ．

根據(jù)材料，把下列式子進(jìn)行因式分解．
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ ；
3. （3） $\text{[math]}$ ．
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19. (2023八下·定邊期末) 19世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家蘇菲·熱門給出了一種分解因式 $\text{[math]}$ 的方法：他抓住了該式只有兩項(xiàng)，而且屬于平方和 $\text{[math]}$ 的形式，要使用公式就必須添一項(xiàng) $\text{[math]}$ ，隨即將此項(xiàng) $\text{[math]}$ 減去，即可得 $\text{[math]}$ .人們?yōu)榱思o(jì)念蘇菲·熱門給出這一解法，就把它叫做“熱門定理”。
根據(jù)以上方法，把下列各式因式分解：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ .
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20. (2023九上·成都月考) 數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法，在學(xué)習(xí)“因式分解”時(shí)，我們可以借助直觀、形象的幾何模型來(lái)求解 $\text{[math]}$ 下面共有三種卡片： $\text{[math]}$ 型卡片是邊長(zhǎng)為 $\text{[math]}$ 的正方形； $\text{[math]}$ 型卡片是長(zhǎng)為 $\text{[math]}$ ，寬為 $\text{[math]}$ 的長(zhǎng)方形； $\text{[math]}$ 型卡片是邊長(zhǎng)為 $\text{[math]}$ 的正方形．
1. （1）用 $\text{[math]}$ 張 $\text{[math]}$ 型卡片， $\text{[math]}$ 張 $\text{[math]}$ 型卡片拼成如圖 $\text{[math]}$ 的圖形，根據(jù)圖 $\text{[math]}$ ，多項(xiàng)式 $\text{[math]}$ 因式分解的結(jié)果為；
2. （2）請(qǐng)用 $\text{[math]}$ 張 $\text{[math]}$ 型卡片， $\text{[math]}$ 張 $\text{[math]}$ 型卡片， $\text{[math]}$ 張 $\text{[math]}$ 型卡片拼成一個(gè)大正方形，在圖 $\text{[math]}$ 的虛線框中畫出正方形的示意圖，再據(jù)此寫出一個(gè)多項(xiàng)式的因式分解．
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21. (2024八上·廉江月考) 觀察下列式子的因式分解做法：
$\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ ．
1. （1）模仿以上做法，嘗試對(duì) $\text{[math]}$ 進(jìn)行因式分解： $\text{[math]}$ ．
2. （2）觀察以上結(jié)果，猜想 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 為正整數(shù)，直接寫結(jié)果，不用驗(yàn)證 $\text{[math]}$
3. （3）試求 $\text{[math]}$ 的值．
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22. (2023八下·宣漢期末) 我們把多項(xiàng)式 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 叫做完全平方式．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式最大值、最小值等．
例如：分解因式 $\text{[math]}$ ；例如求代數(shù)式 $\text{[math]}$ 的最小值．由 $\text{[math]}$ 可知，當(dāng) $\text{[math]}$ 時(shí)， $\text{[math]}$ 有最小值，最小值是 $\text{[math]}$ ．
根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問(wèn)題；
1. （1）分解因式： $\text{[math]}$ ；
2. （2）當(dāng)a，b為何值時(shí)，多項(xiàng)式 $\text{[math]}$ 有最小值，并求出這個(gè)最小值；
3. （3）當(dāng)a，b為何值時(shí)，多項(xiàng)式 $\text{[math]}$ 有最小值，并求出這個(gè)最小值．
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