江蘇省常州市溧陽市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考...

更新時(shí)間：2024-07-13 瀏覽次數(shù)：64 類型：期末考試

一、單選題

1. (2022高一下·溧陽期末) 已知 $\text{[math]}$ 為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù) $\text{[math]}$ 滿足 $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ 的虛部為（）

A . -1 B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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2. (2022高一下·溧陽期末) 采用簡單隨機(jī)抽樣的方法，從含有6個(gè)個(gè)體的總體中抽取1個(gè)容量為2的樣本，則某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022高一下·溧陽期末) 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ （）

A . 30° B . 60° C . 120° D . 150°

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4. (2022高一下·溧陽期末) 阿基米德（Archimedes，公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家．他推導(dǎo)出的結(jié)論“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”是其畢生最滿意的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱容器里放了一個(gè)球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，若球的體積為 $\text{[math]}$ ，則圓柱的表面積為（）

A . 36π B . 45π C . 54π D . 63π

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5. (2022高一下·溧陽期末) 甲?乙?丙3人獨(dú)立地破譯某個(gè)密碼，每人譯出密碼的概率均為 $\text{[math]}$ ，則密碼被破譯的概率為（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2022高一下·溧陽期末) 下列命題中正確的是（）

A . 過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與這條直線平行 B . 過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直 C . 過已知平面外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直 D . 過已知平面外一條直線，必能作出與已知平面平行的平面

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7. (2022高一下·溧陽期末) 已知非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 滿足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 的夾角為（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2022高一下·溧陽期末) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ （）

A . 9° B . 18° C . 27° D . 36°

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二、多選題

9. (2022高一下·溧陽期末) 某同學(xué)連續(xù)拋擲質(zhì)地均勻的骰子10次，向上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，則這10個(gè)數(shù)的（）

A . 眾數(shù)為2和3 B . 平均數(shù)為3 C . 標(biāo)準(zhǔn)差為 $\text{[math]}$ D . 第85百分位數(shù)為4.5

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10. (2022高一下·溧陽期末) 一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張卡片，上面分別標(biāo)有1~9這9個(gè)數(shù)字（1張卡片上標(biāo)1個(gè)數(shù)），“從中任抽取1張卡片，結(jié)果卡片號(hào)或?yàn)?或?yàn)?或?yàn)?”記為事件 $\text{[math]}$ ， “從中任抽取1張卡片，結(jié)果卡片號(hào)小于7”記為事件 $\text{[math]}$ ， “從中任抽取1張卡片，結(jié)果卡片號(hào)大于7”記為事件 $\text{[math]}$ .下列說法正確的是（）

A . 事件 $\text{[math]}$ 與事件 $\text{[math]}$ 互斥 B . 事件 $\text{[math]}$ 與事件 $\text{[math]}$ 對立 C . 事件 $\text{[math]}$ 與事件 $\text{[math]}$ 相互獨(dú)立 D . $\text{[math]}$

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11. (2022高一下·溧陽期末) 1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)系，并給出公式 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 為虛數(shù)單位， $\text{[math]}$ 為自然對數(shù)的底數(shù)），這個(gè)公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.據(jù)此公式，下列說法正確的是（）

A . $\text{[math]}$ 表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2022高一下·溧陽期末) 如圖，在正方體 $\text{[math]}$ 中，點(diǎn) $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中點(diǎn)，點(diǎn) $\text{[math]}$ 是線段 $\text{[math]}$ 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則以下敘述中正確的是（）

A . 直線 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 直線 $\text{[math]}$ 不可能與平面 $\text{[math]}$ 垂直 C . 直線 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 所成角為定值 D . 三棱錐 $\text{[math]}$ 的體積為定值

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三、填空題

13. (2022高一下·溧陽期末) 用分層抽樣的方法從某校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，其中高一年級(jí)抽20人，高三年級(jí)抽10人，已知該校高二年級(jí)共有學(xué)生300人，則該校學(xué)生總數(shù)是人.

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14. (2022高一下·溧陽期末) 某數(shù)學(xué)課外興趣小組對一圓錐筒進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)將該圓錐放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn) $\text{[math]}$ 滾動(dòng)，當(dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)首次轉(zhuǎn)回到原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了3周.如圖，若該興趣小組已測得圓錐的底面半徑為5，則該圓錐的體積為.

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15. (2022高一下·溧陽期末) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，點(diǎn) $\text{[math]}$ 在邊 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ 的值為.

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16. (2023高三上·河?xùn)|期末) 已知點(diǎn) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均位于單位圓（圓心為 $\text{[math]}$ ，半徑為1）上，且 $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 的最大值為.

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四、解答題

17. (2022高一下·溧陽期末) 已知復(fù)數(shù) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 對應(yīng)的點(diǎn)分別為 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求點(diǎn) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之間的距離；
2. （2）若復(fù)數(shù) $\text{[math]}$ 滿足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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18. (2022高一下·溧陽期末) 如圖，在三棱錐 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分別為棱 $\text{[math]}$ 的中點(diǎn)，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

求證：
1. （1） $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
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19. (2022高一下·溧陽期末) 某中學(xué)為了解大數(shù)據(jù)提供的個(gè)性化作業(yè)質(zhì)量情況，隨機(jī)訪問50名學(xué)生，根據(jù)這50名學(xué)生對個(gè)性化作業(yè)的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ?……? $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ .
1. （1）求頻率分布直方圖中 $\text{[math]}$ 的值，并估計(jì)該中學(xué)學(xué)生對個(gè)性化作業(yè)評(píng)分不低于70的概率；
2. （2）從評(píng)分在 $\text{[math]}$ 的受訪學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評(píng)分都在 $\text{[math]}$ 的概率；
3. （3）估計(jì)這50名學(xué)生對個(gè)性化作業(yè)評(píng)分的平均數(shù).（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表）
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20. (2022高一下·溧陽期末) 已知向量 $\text{[math]}$ .
1. （1）當(dāng) $\text{[math]}$ 時(shí)，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）設(shè)函數(shù) $\text{[math]}$ ，當(dāng) $\text{[math]}$ 時(shí)，求 $\text{[math]}$ 的值域.
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21. (2022高一下·溧陽期末) 芻（chu?）甍（me?ng）是幾何體中的一種特殊的五面體.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.甍，屋蓋也.求積術(shù)日：倍下表，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一.”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱.芻甍字面意思為茅草屋頂 $\text{[math]}$ ”現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，四邊形 $\text{[math]}$ 為長方形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是全等的等邊三角形.
1. （1）求證： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若已知 $\text{[math]}$ ，
  ①求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；
  ②求該五面體 $\text{[math]}$ 的體積.
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22. (2022高一下·溧陽期末) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所對的邊分別為 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是邊 $\text{[math]}$ 上一點(diǎn).
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ .
  ①求證： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；
  ②求 $\text{[math]}$ 面積的最大值及此時(shí) $\text{[math]}$ 的長.
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