【培優(yōu)卷】2.4二次函數(shù)的應(yīng)用—2023-2024學(xué)年北師大...

更新時(shí)間：2023-09-17 瀏覽次數(shù)：46 類型：同步測試

一、選擇題（每題2分，共20分）

1. (2020九上·余姚月考) 如圖，正三角形ABC的邊長為3cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(秒)，y=PC² ，則y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致是（ )

A . B . C . D .

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2. (2022九下·南召開學(xué)考) 如圖 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是邊長為2的等邊三角形，它們的邊 $\text{[math]}$ 在同一條直線l上，點(diǎn)C，E重合，現(xiàn)將 $\text{[math]}$ 沿著直線l向右移動(dòng)，直至點(diǎn)B與F重合時(shí)停止移動(dòng).在此過程中，設(shè)點(diǎn)移動(dòng)的距離為x，兩個(gè)三角形重疊部分的面積為y，則y隨x變化的函數(shù)圖象大致為（）

A . B . C . D .

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3. (2022九上·新昌期中) 學(xué)校組織學(xué)生去紹興進(jìn)行研學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)在賓館房間的洗手盤臺(tái)面上有一瓶洗手液（如圖①）.于是好奇的小王同學(xué)進(jìn)行了實(shí)地測量研究.當(dāng)小王用一定的力按住頂部A下壓如圖②位置時(shí)，洗手液從噴口B流出，路線近似呈拋物線狀，且噴口B為該拋物線的頂點(diǎn).洗手液瓶子的截面圖下面部分是矩形 $\text{[math]}$ .小王同學(xué)測得∶洗手液瓶子的底面直徑 $\text{[math]}$ ，噴嘴位置點(diǎn)B距臺(tái)面的距離為 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 三點(diǎn)共線.小王在距離臺(tái)面 $\text{[math]}$ 處接洗手液時(shí)，手心Q到直線 $\text{[math]}$ 的水平距離為 $\text{[math]}$ ，若小王不去接，則洗手液落在臺(tái)面的位置距 $\text{[math]}$ 的水平面是（） $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2021九上·椒江期末) 小明發(fā)現(xiàn)雞蛋的形狀可以近似用拋物線與圓來刻畫.于是他畫了兩只雞蛋的示意圖（如圖，單位：cm），其中 AB 和 A'B'；上方為兩條開口大小相同的拋物線，下方為兩個(gè)圓的一部分.若第一個(gè)雞蛋的高度 CD 為 8.4 cm，則第二個(gè)雞蛋的高度C'D'為（　　）

A . 7.29 cm B . 7.34 cm C . 7.39 cm D . 7.44 cm

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5. (2020九上·瑞安期中) 我校門口道路的隔離欄通常會(huì)涂上醒目的顏色，呈拋物線形狀（如圖1），圖2是一個(gè)長為2米，寬為1米的矩形隔離欄，中間被4根欄桿五等分，每根欄桿的下面一部分涂上醒目的藍(lán)色，顏色的分界處（點(diǎn)E ，點(diǎn)P）以及點(diǎn)A ，點(diǎn)B落上同一條拋物線上，若第1根欄桿涂色部分（EF）與第2根欄桿未涂色部分（PQ）長度相等，則EF的長度是（）

A . $\text{[math]}$ 米 B . $\text{[math]}$ 米 C . $\text{[math]}$ 米 D . $\text{[math]}$ 米

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6. (2023九上·溫州期末) 洗手盤臺(tái)面上有一瓶洗手液．當(dāng)同學(xué)用一定的力按住頂部 $\text{[math]}$ 下壓如圖位置時(shí)，洗手液從噴口 $\text{[math]}$ 流出，路線近似呈拋物線狀，且噴口 $\text{[math]}$ 為該拋物線的頂點(diǎn)．洗手液瓶子的截面圖下面部分是矩形 $\text{[math]}$ 同學(xué)測得：洗手液瓶子的底面直徑 $\text{[math]}$ ，噴嘴位置點(diǎn) $\text{[math]}$ 距臺(tái)面的距離為 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三點(diǎn)共線．在距離臺(tái)面 $\text{[math]}$ 處接洗手液時(shí)，手心 $\text{[math]}$ 到直線 $\text{[math]}$ 的水平距離為 $\text{[math]}$ ，不去接則洗手液落在臺(tái)面的位置距 $\text{[math]}$ 的水平面是 $\text{[math]}$ ．（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2021九上·臨海期末) 一位運(yùn)動(dòng)員在離籃筐水平距離4m處起跳投籃，球運(yùn)行路線可看作拋物線，當(dāng)球離開運(yùn)動(dòng)員的水平距離為1m時(shí)，它與籃筐同高，球運(yùn)行中的最大高度為3.5m，最后準(zhǔn)確落入籃筐，已知籃筐到地面的距離為3.05m，該運(yùn)動(dòng)員投籃出手點(diǎn)距離地面的高度為（）

A . 1.5m B . 2m C . 2.25m D . 2.5m

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8. (2019九上·湖州月考) 一種包裝盒的設(shè)計(jì)方法如圖所示，四邊形ABCD是邊長為30cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)O，形成一個(gè)底面為正方形的長方體包裝盒．設(shè)BE=CF=xcm，要使包裝盒的側(cè)面積最大，則x應(yīng)?。? ）

A . 12.5cm B . 10cm C . 7.5cm D . 5cm

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9. (2022九上·鄞州開學(xué)考) 物理課上我們學(xué)習(xí)了豎直上拋運(yùn)動(dòng)，若從地面豎直向上拋一小球，小球的高度 $\text{[math]}$ 單位： $\text{[math]}$ 與小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間 $\text{[math]}$ 單位： $\text{[math]}$ 之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論：
①小球在空中經(jīng)過的路程是 $\text{[math]}$
②小球拋出 $\text{[math]}$ 后，速度越來越快
③小球拋出 $\text{[math]}$ 時(shí)速度為0
④小球的高度 $\text{[math]}$ 時(shí)， $\text{[math]}$
其中正確的是（）

A . ①②③ B . ①② C . ②③④ D . ②③

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10. (2020九上·安新期末) 某公司銷售一種藜麥，成本價(jià)為30元/千克，若以35元/千克的價(jià)格銷售，每天可售出450千克．當(dāng)售價(jià)每漲0.5元/千克時(shí)，日銷售量就會(huì)減少15千克．設(shè)當(dāng)日銷售單價(jià)為 $\text{[math]}$ （元/千克）（ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是按0.5的倍數(shù)上漲），當(dāng)日銷售量為 $\text{[math]}$ （千克）．有下列說法：
①當(dāng) $\text{[math]}$ 時(shí)， $\text{[math]}$ ② $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 之間的函數(shù)關(guān)系式為 $\text{[math]}$ ③若使日銷售利潤為2880元，且銷售量較大，則日銷售單價(jià)應(yīng)定為42元/千克④若使日銷售利潤最大，銷售價(jià)格應(yīng)定為40元/千克

其中正確的是（）

A . ①② B . ①②④ C . ①②③ D . ②④

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二、填空題（每題3分，共15分）

11. (2023·長春) $\text{[math]}$ 年5月8日， $\text{[math]}$ 商業(yè)首航完成——中國民商業(yè)運(yùn)營國產(chǎn)大飛機(jī)正式起步． $\text{[math]}$ 時(shí) $\text{[math]}$ 分航班抵達(dá)北京首都機(jī)場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風(fēng)洗塵”、是國際民航中高級別的禮儀）．如圖①，在一次“水門禮”的預(yù)演中，兩輛消防車面向飛機(jī)噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的拋物線的一部分．如圖②，當(dāng)兩輛消防車噴水口A、B的水平距離為 $\text{[math]}$ 米時(shí)，兩條水柱在物線的頂點(diǎn)H處相遇，此時(shí)相遇點(diǎn)H距地面 $\text{[math]}$ 米，噴水口A、B距地面均為4米．若兩輛消防車同時(shí)后退 $\text{[math]}$ 米，兩條水柱的形狀及噴水口 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 到地面的距離均保持不變，則此時(shí)兩條水柱相遇點(diǎn) $\text{[math]}$ 距地面米．

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12. (2023·宜城模擬) 某學(xué)生推鉛球，鉛球所經(jīng)過的路線是拋物線的一部分，若這名學(xué)生出手點(diǎn)A（0，1.6），鉛球路線最高處為B（6，4），則該學(xué)生將鉛球推出的距離是．

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13. (2023·宜陽模擬) 如圖是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)拱頂（拱橋洞的最高點(diǎn)）離水面 $\text{[math]}$ 時(shí)，水面寬 $\text{[math]}$ ，當(dāng)水面下降 $\text{[math]}$ 時(shí)，水面的寬度為m.

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14. (2021九上·瑞安期中) 如圖所示，從高為2m的點(diǎn) $\text{[math]}$ 處向右上拋一個(gè)小球 $\text{[math]}$ ，小球路線呈拋物線 $\text{[math]}$ 形狀，小球水平經(jīng)過2m時(shí)達(dá)到最大高度6m，然后落在下方臺(tái)階B處彈起，已知 $\text{[math]}$ m， $\text{[math]}$ m， $\text{[math]}$ m，若小球彈起形成一條與 $\text{[math]}$ 形狀相同的拋物線，且落點(diǎn) $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一直線上，則小球彈起時(shí)的最大高度是m

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15. (2020·溫嶺模擬) 圖1是一個(gè)高腳杯截面圖，杯體CBD呈拋物線狀(杯體厚度不計(jì)) ，點(diǎn)B是拋物線的頂點(diǎn)，AB=9，EF=2 $\text{[math]}$ ，點(diǎn)A是EF的中點(diǎn)，當(dāng)高腳杯中裝滿液體時(shí)，液面CD=4 $\text{[math]}$ ，此時(shí)最大深度(液面到最低點(diǎn)的距離)為12，將高腳杯繞點(diǎn)F緩緩傾斜倒出部分液體，當(dāng)∠EFH=30°時(shí)停止，此時(shí)液面為GD，則液面GD到平面l的距離是；此時(shí)杯體內(nèi)液體的最大深度為。

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三、解答題（共7題，共65分）

16. (2024九下·越秀模擬) 某商店為了推銷一種新產(chǎn)品，在某地先后舉行40場產(chǎn)品發(fā)布會(huì)，已知該產(chǎn)品每臺(tái)成本為10萬元，設(shè)第x場產(chǎn)品的銷售量為y（臺(tái)），已知第一場銷售產(chǎn)品49臺(tái)，然后每增加一場，產(chǎn)品就少賣出1臺(tái)；
1. （1）直接寫出y與x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；產(chǎn)品的每場銷售單價(jià)p（萬元）由基本價(jià)和浮動(dòng)價(jià)兩部分相加組成，其中基本價(jià)保持不變，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)第1場—第20場浮動(dòng)價(jià)與發(fā)布場次x成正比，第21場—第40場浮動(dòng)價(jià)與發(fā)布場次x成反比，得到如下數(shù)據(jù)：
  x（場）
  3
  10
  25
  p（萬元）
  10.6
  12
  14.2
2. （2）求p與x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；
3. （3）當(dāng)產(chǎn)品銷售單價(jià)為13萬元時(shí)，求銷售場次是第幾場？
4. （4）在這40場產(chǎn)品發(fā)布會(huì)中，求哪一場獲得的利潤最大，最大利潤是多少？
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17. (2019九上·汕頭月考) 某工廠用 $\text{[math]}$ 天時(shí)間生產(chǎn)一款新型節(jié)能產(chǎn)品，每天生產(chǎn)的該產(chǎn)品被某網(wǎng)店以每件 $\text{[math]}$ 元的價(jià)格全部訂購，在生產(chǎn)過程中，由于技術(shù)的不斷更新，該產(chǎn)品第 $\text{[math]}$ 天的生產(chǎn)成本 $\text{[math]}$ （元/件）與 $\text{[math]}$ （天）之間的關(guān)系如圖所示，第 $\text{[math]}$ 天該產(chǎn)品的生產(chǎn)量 $\text{[math]}$ （件）與 $\text{[math]}$ （天）滿足關(guān)系式 $\text{[math]}$
1. （1）第 $\text{[math]}$ 天，該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤是元；
2. （2）設(shè)第x天該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤為w元．
  ①求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出第幾天的利潤最大，最大利潤是多少？
  
  ②在生產(chǎn)該產(chǎn)品的過程中，當(dāng)天利潤不低于 $\text{[math]}$ 元的共有多少天？
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18. (2023·黃巖模擬) 為了有效地應(yīng)對高樓火災(zāi)，某消防中隊(duì)進(jìn)行消防技能比賽．如圖，在一個(gè)廢棄高樓距地面 $\text{[math]}$ 的點(diǎn)A和 $\text{[math]}$ 的點(diǎn)B處，各設(shè)置了一個(gè)火源，消防員來到火源正前方，水槍噴出的水流看作拋物線的一部分（水流出口與地面的距離忽略不計(jì)）．第一次滅火時(shí)站在水平地面的點(diǎn)C處，水流恰好到達(dá)點(diǎn)A處，且水流的最大高度為 $\text{[math]}$ ，水流的最高點(diǎn)到高樓的水平距離為 $\text{[math]}$ ，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，水流的高度y（m）與到高樓的水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式為： $\text{[math]}$ ．
1. （1）求消防員第一次滅火時(shí)水流所在拋物線的解析式；
2. （2）待A處火熄滅后，消防員前進(jìn)2m到點(diǎn)D處進(jìn)行第二次滅火，若兩次滅火時(shí)水流所在拋物線的形狀相同，請判斷水流是否到達(dá)點(diǎn)B處，并說明理由；
3. （3）若消防員站在到高樓的水平距離為11m~12m的地方，調(diào)整水槍，使噴出的水流形狀發(fā)生變化，水流的最高點(diǎn)到高樓的水平距高始終是4m，當(dāng) $\text{[math]}$ 時(shí)，求水流到達(dá)墻面高度的取值范圍．
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19. (2022·安徽) 如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，規(guī)定一個(gè)單位長度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點(diǎn)．
1. （1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
2. （2）在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點(diǎn) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在x軸上，MN與矩形 $\text{[math]}$ 的一邊平行且相等．柵欄總長l為圖中粗線段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， MN長度之和．請解決以下問題：
  （?。┬藿ㄒ粋€(gè)“”型柵欄，如圖2，點(diǎn) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在拋物線AED上．設(shè)點(diǎn) $\text{[math]}$ 的橫坐標(biāo)為 $\text{[math]}$ ，求柵欄總長l與m之間的函數(shù)表達(dá)式和l的最大值；
  （ⅱ）現(xiàn)修建一個(gè)總長為18的柵欄，有如圖3所示的修建“”型或“”型柵型兩種設(shè)計(jì)方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形 $\text{[math]}$ 面積的最大值，及取最大值時(shí)點(diǎn) $\text{[math]}$ 的橫坐標(biāo)的取值范圍（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 右側(cè)）．
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20. (2022·石家莊模擬) 如圖1的小山丘是科研部門的小球彈射實(shí)驗(yàn)場地，在小山丘一側(cè)的山坡上建有小球彈射發(fā)射裝置，另一側(cè)建有圓柱形小球接收裝置，如圖2為實(shí)驗(yàn)場地的縱截面示意圖，小山丘縱截面的外部輪廓線近似為拋物線的一部分，以小山丘縱截面與地面的交線為x軸，以過發(fā)射裝置所在的直線AB為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，發(fā)射裝置底部在輪廓線的點(diǎn)A處，距離地面為1米，在發(fā)射裝置3米的點(diǎn)B處是發(fā)射點(diǎn)，已知小山丘縱截面的外部輪廓線為 $\text{[math]}$ ，從發(fā)射裝置的發(fā)射點(diǎn)彈射一個(gè)小球（忽略空氣阻力）時(shí)，小球的飛行路線為一段拋物線 $\text{[math]}$ ．
1. （1）直接寫出c的值，當(dāng)小球離B處的水平距離和豎直距離都為4米時(shí)，求b的值，并求小球到小山丘的豎直距離為1米時(shí)，小球離B處的水平距離；
2. （2）若小球最遠(yuǎn)著陸點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為15米，當(dāng)小球飛行到小山丘頂?shù)恼戏?，且與頂部距離不小于 $\text{[math]}$ 米時(shí)，求b的取值范圍，并求小球飛行路線的頂點(diǎn)到x軸距離的最小值；
3. （3）圓柱形小球接收裝置的最大截面為矩形CDEF，已知點(diǎn)E在 $\text{[math]}$ 上，其橫坐標(biāo)為14， $\text{[math]}$ 軸， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若小球恰好落入該裝置內(nèi)（不觸碰裝置側(cè)壁），請直接寫出b的取值范圍．
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21. (2022九上·義烏月考) 如圖1，小明將一張直角梯形紙片沿虛線剪開，得到矩形和三角形兩張紙片，測得AB＝5，AD＝4．在進(jìn)行如下操作時(shí)遇到了下列幾個(gè)問題，請你幫助解決．
1. （1）如圖2，將△EFG的頂點(diǎn)G移到矩形的頂點(diǎn)B處，再將三角形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使E點(diǎn)落在CD邊上，此時(shí)EF恰好經(jīng)過點(diǎn)A ，請證明：△ADE∽△FGE；
2. （2）如圖3，在（1）的條件下，小明先將△EFG的邊EG和矩形的邊AB重合，然后將△EFG沿直線BC向右平移，至F點(diǎn)與B重合時(shí)停止．在平移過程中，設(shè)G點(diǎn)平移的距離為x ，兩紙片重疊部分面積為y ，求在平移的整個(gè)過程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式．
3. （3）如圖，在（1）的條件下，小明把該圖形放在直角坐標(biāo)系中，使B（G）為坐標(biāo)原點(diǎn)BC為x軸，在x軸和y上分別找P，Q兩點(diǎn)使△DPQ與△ABF相似，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)。
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22. (2018九上·于洪期末)
1. （1）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，是一張直角三角形紙片， $\text{[math]}$ ，小明想從中剪出一個(gè)以 $\text{[math]}$ 為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沿著中位線DE、EF剪下時(shí)，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過證明驗(yàn)證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為.
2. （2）【拓展應(yīng)用】如圖2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，BC邊上的高 $\text{[math]}$ ，矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在邊AB、AC上，頂點(diǎn)Q、M在邊BC上，求出矩形PQMN面積的最大值 $\text{[math]}$ 用含a、h的代數(shù)式表示 $\text{[math]}$ ；
3. （3）【靈活應(yīng)用】如圖3，有一塊“缺角矩形”ABCDE， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，小明從中剪出了一個(gè)面積最大的矩形 $\text{[math]}$ 為所剪出矩形的內(nèi)角 $\text{[math]}$ ，直接寫出該矩形的面積.
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