上海市楊浦區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

更新時間：2024-07-14 瀏覽次數(shù)：45 類型：期末考試

一、填空題

1. (2023高二下·楊浦期末) 拋物線 $\text{[math]}$ 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是．

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2. (2023高二下·楊浦期末) 拋擲一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，得點(diǎn)數(shù) $\text{[math]}$ 的概率是.

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3. (2023高二下·楊浦期末) 半徑為1厘米的球的表面積為平方厘米.

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4. (2023高二下·楊浦期末) 如圖，正方體 $\text{[math]}$ 中，異面直線 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 所成角的大小是.

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5. (2023高二下·楊浦期末) 雙曲線 $\text{[math]}$ 的漸近線方程為.

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6. (2023高二下·楊浦期末) 以 $\text{[math]}$ 為圓心，且經(jīng)過 $\text{[math]}$ 的圓的方程是.

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7. (2023高二下·楊浦期末) 如圖所示，靶子由一個中心圓面Ⅰ和兩個同心圓環(huán)Ⅱ、Ⅲ構(gòu)成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別為0.35、0.30、0.25，則不命中靶的概率是.

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8. (2023高二下·楊浦期末) “若直線 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，直線 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 上，則直線 $\text{[math]}$ 直線 $\text{[math]}$ ”是命題（填“真”或“假”）.

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9. (2023高二下·楊浦期末) 已知一個圓錐的體積為 $\text{[math]}$ ，高為3，則該圓錐的母線與底面所成角的大小是.

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10. (2023高二下·楊浦期末) 已知 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 是獨(dú)立事件， $\text{[math]}$ ，給出下列式子：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；
其中正確的式子是.（填序號）

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11. (2023高二下·楊浦期末) 如圖，正三棱柱 $\text{[math]}$ 的各條棱長都相等，線段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是該正三棱柱的三條面對角線，直線 $\text{[math]}$ 與這三條面對角線所在直線所成的角大小相同，則這個角的大小是（寫出所有可能的值）.

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12. (2023高二下·楊浦期末) 已知數(shù)列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ...， $\text{[math]}$ 的各項均為正整數(shù)，其中 $\text{[math]}$ ，對于每個正整數(shù) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 為相同的正整數(shù)，則 $\text{[math]}$ 的值是.

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二、單選題

13. (2023高二下·楊浦期末) 在長方體 $\text{[math]}$ 中，與 $\text{[math]}$ 相等的向量是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. (2023高二下·楊浦期末) 如圖，已知球 $\text{[math]}$ 的半徑為5，球心 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距離為3，則平面 $\text{[math]}$ 截球 $\text{[math]}$ 所得的小圓 $\text{[math]}$ 的半徑長是（）

A . 2 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . 4

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15. (2023高二下·楊浦期末) 下列命題：
①底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；②各側(cè)棱的長都相等的棱錐是正棱錐；③各側(cè)面是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐.

其中真命題的個數(shù)是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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16. (2023高二下·楊浦期末) 小李購買了一盒點(diǎn)心，點(diǎn)心盒是長方體，長、寬、高分別為30厘米、20厘米和10厘米，商家提供絲帶捆扎服務(wù)，有如圖所示兩種捆扎方案（粗線表示絲帶）可供選擇，免去手工費(fèi)，但絲帶需要按使用長度進(jìn)行收費(fèi).假設(shè)絲帶緊貼點(diǎn)心盒表面，且不計算絲帶寬度以及重疊粘合打結(jié)的部分.為了節(jié)約成本，小李打算選擇盡可能使用絲帶較短的方案，則小李需要購買的絲帶長度至少是（）

A . 80厘米 B . 100厘米 C . 120厘米 D . 140厘米

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三、解答題

17. (2023高二下·楊浦期末) 設(shè)等比數(shù)列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 項和為 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求公比 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值.
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18. (2023高二下·楊浦期末) 已知 $\text{[math]}$ ，直線 $\text{[math]}$ ，直線 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 之間的距離；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 的夾角大小為 $\text{[math]}$ ，求直線 $\text{[math]}$ 的方程.
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19. (2023高二下·楊浦期末) 某校高二年級共有學(xué)生200人，其中男生120人，女生80人.為了了解全年級學(xué)生上學(xué)花費(fèi)時間（分）的信息，按照分層抽樣的原則抽取了樣本，樣本容量為20，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)信息繪制了莖葉圖和頻率分布直方圖.由于保存不當(dāng)，莖葉圖中有一個數(shù)據(jù)不小心被污染看不清了（如圖），頻率分布直方圖縱軸上的數(shù)據(jù)也遺失了.
1. （1）根據(jù)莖葉圖提供的有限信息，求頻率分布直方圖中 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值，指出樣本的“中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)、方差、極差”中，哪些已經(jīng)能確定，并計算它們的值；
2. （2）通過對樣本原始數(shù)據(jù)的計算，得到男生上學(xué)花費(fèi)時間的樣本均值為30（分），女生的樣本均值為27.75（分），試計算被污染的數(shù)值，并根據(jù)樣本估計該年級全體學(xué)生上學(xué)花費(fèi)時間的“中位數(shù)、平均數(shù)、方差”.
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20. (2023高二下·楊浦期末) 如圖，正四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面邊長為1，高為2，點(diǎn) $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上一個動點(diǎn)（點(diǎn) $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均不重合）.
1. （1）當(dāng)點(diǎn) $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中點(diǎn)時，求證：直線 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）當(dāng) $\text{[math]}$ 時，求點(diǎn) $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距離；
3. （3）當(dāng)平面 $\text{[math]}$ 將正四棱柱 $\text{[math]}$ 分割成體積之比為 $\text{[math]}$ 的兩個部分時，求線段 $\text{[math]}$ 的長度.
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21. (2023高二下·楊浦期末) 如圖，已知點(diǎn) $\text{[math]}$ 是橢圓 $\text{[math]}$ 上的一點(diǎn)，頂點(diǎn) $\text{[math]}$ .
1. （1）求橢圓 $\text{[math]}$ 的離心率；
2. （2）直線 $\text{[math]}$ 交橢圓 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 兩點(diǎn)（ $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 不重合），若直線 $\text{[math]}$ 與直線 $\text{[math]}$ 的斜率之和為2，直線 $\text{[math]}$ 是否過定點(diǎn)？若是，請求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.
3. （3）點(diǎn) $\text{[math]}$ 、點(diǎn) $\text{[math]}$ 是橢圓 $\text{[math]}$ 上的兩個點(diǎn)，圓 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的內(nèi)切圓，過橢圓 $\text{[math]}$ 的頂點(diǎn) $\text{[math]}$ 作圓 $\text{[math]}$ 的兩條切線，分別交橢圓 $\text{[math]}$ 于點(diǎn) $\text{[math]}$ 和點(diǎn) $\text{[math]}$ ，判斷直線 $\text{[math]}$ 與圓 $\text{[math]}$ 的位置關(guān)系并證明.
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