立方和、立方差、楊輝三角—人教版數(shù)學(xué)八（上）知識點(diǎn)訓(xùn)練

更新時間：2024-12-03 瀏覽次數(shù)：6 類型：復(fù)習(xí)試卷

一、立方和

1. (2024七下·濟(jì)南期中) 學(xué)習(xí)整式的乘法時可以發(fā)現(xiàn)：用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積，可以得到一個等式，進(jìn)而可以利用得到的等式解決問題．
1. （1）如圖 $\text{[math]}$ ，是由邊長為 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的正方形和長為 $\text{[math]}$ 、寬為 $\text{[math]}$ 的長方形拼成的大正方形，由圖 $\text{[math]}$ 可得等式：；
2. （2）知識遷移：
  $\text{[math]}$ 如圖 $\text{[math]}$ 是用 $\text{[math]}$ 個小正方體和 $\text{[math]}$ 個小長方體拼成的一個大正方體，類比 $\text{[math]}$ ，用不同的方法表示這個大正方體的體積，則可得等式：；
  $\text{[math]}$ 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ 中所得等式，求代數(shù)式 $\text{[math]}$ 的值．
答案解析收藏糾錯 + 選題
2. (2024七下·秦都月考) 【知識生成】
通常，用兩種不同的方法計(jì)算同一個圖形的面積，可以得到一個恒等式．
例如：如圖①是個長為 $\text{[math]}$ ，寬為 $\text{[math]}$ 的長方形，沿圖中虛線用剪刀將其均分成四個小長方形，然后按如圖②的形狀拼成一個正方形．請解答下列問題：
1. （1）請用兩種不同的方法表示如圖②中陰影部分的面積：
  方法1：；方法2：；
  由此可以得出 $\text{[math]}$ 之間的等量關(guān)系是；
2. （2）【知識遷移】
  類似地，用兩種不同的方法計(jì)算同一幾何體的體積，也可以得到一個恒等式．
  如圖③，請用兩種不同的方法表示這個幾何體的體積，并寫出一個恒等式；
3. （3）已知 $\text{[math]}$ ，利用（2）的結(jié)論求 $\text{[math]}$ 的值．
答案解析收藏糾錯 + 選題
3. (2022八上·溫嶺期末) 學(xué)習(xí)了平方差、完全平方公式后，小聰同學(xué)對學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)公式非常感興趣，他通過上網(wǎng)查閱，發(fā)現(xiàn)還有很多數(shù)學(xué)公式，如立方和公式：（a＋b）（a²－ab＋b²）＝a³＋b³ ，他發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用立方和公式可以解決很多數(shù)學(xué)問題，請你也來試試?yán)昧⒎胶凸浇鉀Q以下問題：
1. （1）【公式理解】公式中的字母可以代表任何數(shù)、字母或式子
  ①化簡：（a－b）（a²＋ab＋b²）＝；
  ②計(jì)算：（99³＋1）÷（99²－99＋1）＝；
2. （2）【公式運(yùn)用】已知： $\text{[math]}$ ＋x＝5，求 $\text{[math]}$ 的值：
3. （3）【公式應(yīng)用】如圖，將兩塊棱長分別為a、b的實(shí)心正方體橡皮泥揉合在一起，重新捏成一個高為 $\text{[math]}$ 的實(shí)心長方體，問這個長方體有無可能是正方體，若可能，a與b應(yīng)滿足什么關(guān)系？若不可能，說明理由.
答案解析收藏糾錯 + 選題

二、立方差

4. (2024八下·濟(jì)南期中) 綜合與實(shí)踐：
數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想．我們常利用數(shù)形結(jié)合思想，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，如：探索整式乘法的一些法則和公式．
探索整式乘法的一些法則和公式．
1. （1）探究一：將圖1的陰影部分沿虛線剪開后，拼成圖2的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個多項(xiàng)式的分解因式．
2. （2）探究二：類似地，我們可以借助一個棱長為a的大正方體進(jìn)行以下探索：
  在大正方體一角截去一個棱長為b（b＜a）的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為；
3. （3）將圖3中的幾何體分割成三個長方體①、②、③，如圖4，圖5所示，∵BC＝a ， AB＝a﹣b ， CF＝b ， ∴長方形①的體積為ab（a﹣b）．類似地，長方體②的體積為，長方體③的體積為；（結(jié)果不需要化簡）
4. （4）用不同的方法表示圖3中幾何體的體積，可以得到的恒等式（將一個多項(xiàng)式因式分解）為．
5. （5）問題應(yīng)用：利用上面的結(jié)論，解決問題：已知a﹣b＝6，ab＝2，求a³﹣b³的值．
答案解析收藏糾錯 + 選題

三、楊輝三角

5. (2023七下·南山期中) 我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝 $\text{[math]}$ 約 $\text{[math]}$ 世紀(jì) $\text{[math]}$ 所著的 $\text{[math]}$ 詳解九章算術(shù) $\text{[math]}$ 一書中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)和 $\text{[math]}$ 的展開式的各項(xiàng)系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”，根據(jù)“楊輝三角”計(jì)算 $\text{[math]}$ 的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)為（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏糾錯 + 選題
6. (2023七上·婁底期中) 下面為楊輝三角系數(shù)表，它的作用是指導(dǎo)讀者按規(guī)律寫出形如 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 為正整數(shù)）展開式的系數(shù)，請你仔細(xì)觀察下面的規(guī)律，填出 $\text{[math]}$ 展開式中所缺的系數(shù).則 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

答案解析收藏糾錯 + 選題
7. (2021八上·川匯期末)
如圖，在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《解：九章算術(shù)》一書中，介紹了展開式的系數(shù)規(guī)律，稱為“楊輝三角”.如第5行的5個數(shù)是1，4，6，4，1，恰好對應(yīng)著 $\text{[math]}$ 展開式中的各項(xiàng)系數(shù).利用上述規(guī)律計(jì)算： $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$

答案解析收藏糾錯 + 選題
8. (2020八上·陽泉期末) 請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)。
楊輝，南宋杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，楊輝一生留下了大量的著作，他著名的數(shù)學(xué)著作共5種21卷，即《詳解九章算法》12卷，《日用算法》2卷，《乘除通變本末》3卷，《田畝比類乘除捷法》卷，《續(xù)古摘奇算法》卷。在《詳解九章算法》一書中，畫了一張表示二項(xiàng)式展開后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，根據(jù)這個三角圖形，楊輝研究了二項(xiàng)式定理，并根據(jù)此定理研究了兩教的立方和、立方差、三數(shù)的立方和等公式，兩數(shù)的立方差公式是：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)，這個公式的推導(dǎo)過程如下：a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²(a-b)+b(a²-b²)=a²(a-b)+b(a+b)(a-b)=(a-b)(a²+ab+b²)

任務(wù)：
1. （1）利用上述方法推導(dǎo)立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)從左往右推導(dǎo))
2. （2）已知a+b=1，ab=-1，a>b，求a²+b² ， a³-b³的值
答案解析收藏糾錯 + 選題

9. (2023·寶安模擬) 閱讀材料：北師大版七年級下冊教材24頁為大家介紹了楊輝三角．

楊輝三角如果將 $\text{[math]}$ 為非負(fù)整數(shù)）的展開式的每一項(xiàng)按字母 $\text{[math]}$ 的次數(shù)由大到小排列，就可以得到下面的等式：

$\text{[math]}$ ，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1；

$\text{[math]}$ ，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1；

$\text{[math]}$ ，它有三項(xiàng)，系數(shù)分別為1，2，1；

$\text{[math]}$ ，它有四項(xiàng)，系數(shù)分別為1，3，3，1

將上述每個式子的各項(xiàng)系數(shù)排成該表.

觀察該表，可以發(fā)現(xiàn)每一行的首末都是1，并且下一行的數(shù)比上一行多1個，中間各數(shù)都寫在上一行兩數(shù)的中間，且等于它們的和.按照這個規(guī)律可以將這個表繼續(xù)往下寫.

該表在我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，而他是摘錄自北宋時期數(shù)學(xué)家賈憲著的《開方作法本源》中的“開方作法本源圖"，因而人們把這個表叫做楊輝三角或賈憲三角，在歐洲這個表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡（B.Pascal，1623—1662）是1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年.

（1）應(yīng)用規(guī)律：①直接寫出 $\text{[math]}$ 的展開式， $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ 的展開式中共有項(xiàng)，所有項(xiàng)的系數(shù)和為；
（2）代數(shù)推理：已知 $\text{[math]}$ 為整數(shù)，求證： $\text{[math]}$ 能被18整除．

答案解析收藏糾錯 + 選題

10. (2021七下·金東期中) 閱讀下列材料，解答下面的問題：
楊輝三角是我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)的，利用楊輝三角可以很方便地寫出兩項(xiàng)多項(xiàng)式的 $\text{[math]}$ 次方的展開式.楊輝三角中的每一行的數(shù)分別對應(yīng)兩項(xiàng)多項(xiàng)式 $\text{[math]}$ 次方展開式中的各項(xiàng)系數(shù).例如： $\text{[math]}$ ，右邊的系數(shù)1、2、1是楊輝三角中第三行的三個數(shù)，又如： $\text{[math]}$ 中右邊各項(xiàng)系數(shù)1、3、3、1是楊輝三角中第四行的四個數(shù).根據(jù)這個規(guī)律，試解決下列問題：
1. （1）試寫出下一個展開式： $\text{[math]}$ .
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的展開式.
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
答案解析收藏糾錯 + 選題
11. (2019七下·越城期末) 楊輝三角形，又稱賈憲三角形，帕斯卡三角形，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)學(xué)家楊所著的《詳解九章算術(shù)》（1261年）一書中用如圖的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律
（a+b）¹＝a+b

（a+b）²＝a²+2ab+b²

（a+b）³＝（a+b）（a²+2ab+b²）＝a³+3a²b+3ab²+b³

（a+b）⁴＝（a+b）（a³+3a²b+3ab²+b³）＝a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

“楊輝三角”里面蘊(yùn)藏了許多的規(guī)律
1. （1）找出其中各項(xiàng)字母之間的規(guī)律以及各項(xiàng)系數(shù)之間的規(guī)律各一條；
2. （2）直接寫出（a+b）⁶展開后的多項(xiàng)式；
3. （3）運(yùn)用：若今天是星期四，經(jīng)過8⁴天后是星期，經(jīng)過8¹⁰⁰天后是星期．
答案解析收藏糾錯 + 選題