湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高二上冊數(shù)學(xué)入...

更新時間：2023-11-14 瀏覽次數(shù)：47 類型：開學(xué)考試

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 已知復(fù)數(shù) $\text{[math]}$ 是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) $\text{[math]}$ （）

A . －2 B . －1 C . 0 D . 1

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2. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 已知 $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 成立的（）

A . 充分不必要條件 B . 必要不充分條件 C . 充要條件 D . 既不充分又不必要條件

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4. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 有一個人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對立事件是（　　）

A . 至多有1次中靶 B . 2次都中靶 C . 2次都不中靶 D . 只有1次中靶

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5. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 已知樣本數(shù)據(jù) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 的平均數(shù)和方差分別為3和56，若 $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， … $\text{[math]}$ 的平均數(shù)和方差分別是（）

A . 12，115 B . 12，224 C . 9，115 D . 9，224

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6. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 某中學(xué)舉行了一次“網(wǎng)絡(luò)信息安全”知識競賽，將參賽的100名學(xué)生成績分為6組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，則成績在區(qū)間 $\text{[math]}$ 內(nèi)的學(xué)生有（）

A . 15名 B . 20名 C . 25名 D . 40名

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7. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 已知函數(shù) $\text{[math]}$ 的定義域?yàn)?img class="mathml" src="http://math.21cnjy.com/MathMLToImage?mml=%3Cmath+xmlns%3D%22http%3A%2F%2Fwww.w3.org%2F1998%2FMath%2FMathML%22%3E%3Cmtext%3ER%3C%2Fmtext%3E%3C%2Fmath%3E" style="max-width:100%;vertical-align: middle;"> ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ （）

A . －3 B . －2 C . 0 D . 1

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8. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 如圖，正方體 $\text{[math]}$ 中，點(diǎn) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分別是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中點(diǎn)，過點(diǎn) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的截面將正方體分割成兩個部分，記這兩個部分的體積分別為 $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 已知 $\text{[math]}$ ，則a ， b滿足（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 在 $\text{[math]}$ 中，內(nèi)角 $\text{[math]}$ 所對的邊分別為 $\text{[math]}$ ，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2024高一下·普洱期末) 下列四個命題中，假命題有（）

A . 對立事件一定是互斥事件 B . 若A ， B為兩個事件，則 $\text{[math]}$ C . 若事件A ， B ， C彼此互斥，則 $\text{[math]}$ D . 若事件A ， B滿足 $\text{[math]}$ ，則A ， B是對立事件

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12. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 如圖，正方體 $\text{[math]}$ 的棱長為1， $\text{[math]}$ 分別為 $\text{[math]}$ 的中點(diǎn).則（）

A . 直線 $\text{[math]}$ 與直線 $\text{[math]}$ 垂直 B . 直線 $\text{[math]}$ 與平面 $\text{[math]}$ 平行 C . 平面 $\text{[math]}$ 截正方體所得的截面面積為 $\text{[math]}$ D . 點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面 $\text{[math]}$ 的距離相等

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三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 2023年是全面貫徹黨的二十大精神的開局之年，某中學(xué)為了解教師學(xué)習(xí)“黨的二十大精神”的情況，采用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法從高一、高二、高三的教師中抽取一個容量為30的樣本，已知高一年級有教師80人，高二年級有教師72人，高三年級有教師88人，則高一年級應(yīng)抽取人.

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14. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 在平行六面體 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ .

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15. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 已知 $\text{[math]}$ ，若存在實(shí)數(shù) $\text{[math]}$ ，使函數(shù) $\text{[math]}$ 有兩個零點(diǎn)，則 $\text{[math]}$ 的取值范圍是.

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16. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 如圖，正四棱錐 $\text{[math]}$ 的底面邊長和高均為2，M是側(cè)棱PC的中點(diǎn).若過AM作該正四棱錐的截面，分別交棱PB、PD于點(diǎn)E、F（可與端點(diǎn)重合），則四棱錐 $\text{[math]}$ 的體積的取值范圍是.

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四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 已知函數(shù) $\text{[math]}$ 的部分圖像如圖所示.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的解析式及對稱中心；
2. （2）先將 $\text{[math]}$ 的圖像縱坐標(biāo)縮短到原來的 $\text{[math]}$ 倍，再向右平移 $\text{[math]}$ 個單位后得到 $\text{[math]}$ 的圖像，求函數(shù) $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的單調(diào)減區(qū)間和最值.
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18. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 如圖，在正方體 $\text{[math]}$ 中，E ， F分別是棱BC ， DC的中點(diǎn).
1. （1）求證： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若點(diǎn)M ， N分別在 $\text{[math]}$ ， AF上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求證： $\text{[math]}$ ；
3. （3）棱 $\text{[math]}$ 上是否存在點(diǎn)P ，使平面 $\text{[math]}$ 平面AFP？若存在，確定點(diǎn)P的位置，若不存在，說明理由.
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19. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 某足球俱樂部舉辦新一屆足球賽，按比賽規(guī)則，進(jìn)入淘汰賽的兩支球隊(duì)如果在120分鐘內(nèi)未分出勝負(fù)，則需進(jìn)行點(diǎn)球大戰(zhàn).點(diǎn)球大戰(zhàn)規(guī)則如下：第一階段，雙方各派5名球員輪流罰球，雙方各罰一球?yàn)橐惠?，球員每罰進(jìn)一球則為本方獲得1分，未罰進(jìn)不得分，當(dāng)分差拉大到即使落后一方剩下的球員全部罰進(jìn)也不能追上的時候，比賽即宣告結(jié)束，剩下的球員無需出場罰球.若5名球員全部罰球后雙方得分一樣，則進(jìn)入第二階段，雙方每輪各派一名球員罰球，直到出現(xiàn)某一輪一方罰進(jìn)而另一方未罰進(jìn)的局面，則罰進(jìn)的一方獲勝.設(shè)甲、乙兩支球隊(duì)進(jìn)入點(diǎn)球大戰(zhàn)，由甲隊(duì)球員先罰球，甲隊(duì)每位球員罰進(jìn)點(diǎn)球的概率均為 $\text{[math]}$ ，乙隊(duì)每位球員罰進(jìn)點(diǎn)球的概率均為 $\text{[math]}$ .假設(shè)每輪罰球中，兩隊(duì)進(jìn)球與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.
1. （1）求每一輪罰球中，甲、乙兩隊(duì)打成平局的概率；
2. （2）若在點(diǎn)球大戰(zhàn)的第一階段，甲隊(duì)前兩名球員均得分而乙隊(duì)前兩名球員均未得分，甲隊(duì)暫時以 $\text{[math]}$ 領(lǐng)先，求甲隊(duì)第5個球員需出場罰球的概率.
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20. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 如圖，四棱錐 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，梯形 $\text{[math]}$ 滿足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 為 $\text{[math]}$ 中點(diǎn)， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求證： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四點(diǎn)共面；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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21. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域ABCD內(nèi)舉行機(jī)器人攔截挑戰(zhàn)賽，在E處按 $\text{[math]}$ 方向釋放機(jī)器人甲，同時在A處按 $\text{[math]}$ 方向釋放機(jī)器人乙，設(shè)機(jī)器人乙在M處成功攔截機(jī)器人甲，兩機(jī)器人停止運(yùn)動.若點(diǎn)M在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)（包含邊界），則挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗.已知 $\text{[math]}$ 米，E為AB中點(diǎn)，比賽中兩機(jī)器人均勻速直線運(yùn)動方式行進(jìn)，記 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 的夾角為 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 的夾角為 $\text{[math]}$ .
1. （1）若兩機(jī)器人運(yùn)動方向的夾角為 $\text{[math]}$ ， AD足夠長，機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功，求兩機(jī)器人運(yùn)動路程和的最大值；
2. （2）已知機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的2倍.
  ①若 $\text{[math]}$ ， AD足夠長，機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功，求 $\text{[math]}$ .
  ②如何設(shè)計矩形區(qū)域ABCD的寬AD的長度，才能確保無論 $\text{[math]}$ 的值為多少，總可以通過設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度 $\text{[math]}$ 使機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功？
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22. (2023高二上·長沙開學(xué)考) 定義： $\text{[math]}$ 為實(shí)數(shù) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 對 $\text{[math]}$ 的“正弦方差”.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，證明：實(shí)數(shù) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 對 $\text{[math]}$ 的“正弦方差” $\text{[math]}$ 的值是與 $\text{[math]}$ 無關(guān)的定值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若實(shí)數(shù) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 對 $\text{[math]}$ 的“正弦方差” $\text{[math]}$ 的值是與 $\text{[math]}$ 無關(guān)的定值，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 值.
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