2023年浙教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)4.4兩個(gè)三角形相似的判定同...

更新時(shí)間：2023-08-21 瀏覽次數(shù)：58 類型：同步測(cè)試

一、選擇題（每題3分，共30分）

1. (2021九上·石家莊月考) 已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺規(guī)過點(diǎn)A作一條直線，使其將△ABC分成兩個(gè)相似的三角形，其作法錯(cuò)誤的是（）

A . B . C . D .

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2. (2023·楊浦模擬) 新定義：由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形稱為格點(diǎn)三角形．如圖，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)三角形，那么該網(wǎng)格中所有與 $\text{[math]}$ 相似且有一個(gè)公共角的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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3. (2023·太谷模擬) 在三邊都不相等的 $\text{[math]}$ 的邊 $\text{[math]}$ 上有一點(diǎn)D，過點(diǎn)D畫一條直線，與三角形的另一邊相交所截得的三角形與 $\text{[math]}$ 相似，這樣的直線最多可以畫（）

A . 5條 B . 4條 C . 3條 D . 2條

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4. (2023九上·嵊州期末) 如圖，在由小正方形組成的方格紙中， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，要使 $\text{[math]}$ ，則點(diǎn) $\text{[math]}$ 所在的格點(diǎn)為（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022九上·余杭月考) 如圖，已知圓的內(nèi)接四邊形ABDC，邊DC與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，對(duì)角線AD與CB交于點(diǎn)P．有下列結(jié)論：①△CPD∽△APB；②△APC∽△BPD；③△DCA∽△BAC；④△QCA∽△QBD，其中正確的是（）

A . ②③④ B . ①③ C . ①②④ D . ②③

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6. (2020·昆明) 在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形.如圖，△ABC是格點(diǎn)三角形，在圖中的6×6正方形網(wǎng)格中作出格點(diǎn)三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格點(diǎn)三角形△ADE只算一個(gè)），這樣的格點(diǎn)三角形一共有（）

A . 4個(gè) B . 5個(gè) C . 6個(gè) D . 7個(gè)

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7. (2020·石家莊模擬) 如圖，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足為點(diǎn) $\text{[math]}$ ，過點(diǎn) $\text{[math]}$ 作射線 $\text{[math]}$ ，點(diǎn) $\text{[math]}$ 是邊 $\text{[math]}$ 上任意一點(diǎn)，連接 $\text{[math]}$ 并延長(zhǎng)與射線 $\text{[math]}$ 相交于點(diǎn) $\text{[math]}$ ，設(shè) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 兩點(diǎn)之間的距離為 $\text{[math]}$ ，過點(diǎn) $\text{[math]}$ 作直線 $\text{[math]}$ 的垂線，垂足為 $\text{[math]}$ ．岑岑同學(xué)思考后給出了下面五條結(jié)論，正確的共有（）
① $\text{[math]}$ ；

②當(dāng) $\text{[math]}$ 時(shí)， $\text{[math]}$ ；

③當(dāng) $\text{[math]}$ 時(shí)，四邊形 $\text{[math]}$ 是平行四邊形；

④當(dāng) $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 時(shí)，都有 $\text{[math]}$ ；

⑤當(dāng) $\text{[math]}$ 時(shí)， $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 一定相似．

A . 2條 B . 3條 C . 4條 D . 5條

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8. (2020·寧波模擬) 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=8，E為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且AE=4，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，CF=2，連接EF，ED，則2EF+ED的最小值為（）

A . 12 $\text{[math]}$ B . 12 $\text{[math]}$ C . 12 D . 10

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9. (2021九上·淮北月考) 如圖，M是Rt△ABC的斜邊BC上異于B、C的一定點(diǎn)，過M點(diǎn)作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線共有

A . 1條 B . 2條 C . 3條 D . 4條

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10. (2017·江津模擬) 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BE=CE，MN=1，線段MN的兩端點(diǎn)在CD、AD上滑動(dòng)，當(dāng)DM為時(shí)，△ABE與以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形相似．（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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二、填空題（每空4分，共24分）

11. (2021九上·靈川期末) 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分別為點(diǎn)D，E，則圖中與△ABC相似的三角形個(gè)數(shù)有個(gè).

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12. (2021九上·富平月考) 如圖，點(diǎn)P是?ABCD邊AB上的一點(diǎn)，射線CP交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則圖中相似的三角形有對(duì)．

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13. (2021九上·上城期末) 如圖，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，點(diǎn)E在 $\text{[math]}$ 的延長(zhǎng)線上， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于點(diǎn)F，則圖中與 $\text{[math]}$ 相似的三角形為； $\text{[math]}$ 的長(zhǎng)為.

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14. (2021九上·蘇州月考) 已知點(diǎn) $\text{[math]}$ 是反比例函數(shù) $\text{[math]}$ 圖象上的動(dòng)點(diǎn)， $\text{[math]}$ 軸， $\text{[math]}$ 軸，分別交反比例函數(shù) $\text{[math]}$ 的圖象于點(diǎn)B、C，交坐標(biāo)軸于D、E，且 $\text{[math]}$ ，連接 $\text{[math]}$ .現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：① $\text{[math]}$ ；②在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中， $\text{[math]}$ 的面積始終不變；③連接 $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ ；④不存在點(diǎn)A，使得 $\text{[math]}$ .其中正確的結(jié)論的序號(hào)是．

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15. (2020九下·扎魯特旗月考) 等腰 $\text{[math]}$ 被某一條直線分成兩個(gè)等腰三角形，并且其中一個(gè)等腰三角形與原三角形相似，則等腰 $\text{[math]}$ 的頂角的度數(shù)是.

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16. (2019·贛縣模擬) 如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，則BD的長(zhǎng)為．

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三、解答題（共8題，共66分）

17. (2022·江蘇模擬) 如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B.
1. （1）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)按要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：
  ① 過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F；
  
  ② P為AB邊上的一點(diǎn)，且△DAP∽△PBC，請(qǐng)找出所有滿足條件的點(diǎn)；
2. （2）在（1）的條件下，若AD＝2，BC＝3，AB＝6，則AP＝.
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18. 已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm．動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AC向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度2cm/s；同時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BA向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度1cm/s；
1. （1）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△ABC相似？
2. （2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為等腰三角形？
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19. (2021九上·槐蔭期末) 在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA邊向點(diǎn)A以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BO邊向點(diǎn)O以1cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間（0≤t≤5），
1. （1）用含t的代數(shù)式表示：線段PO＝cm；OQ＝cm．
2. （2）當(dāng)t為何值時(shí)△POQ的面積為6cm²？
3. （3）當(dāng)△POQ與△AOB相似時(shí)，求出t的值．
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20. (2024·梅縣區(qū)模擬) 如圖，拋物線 $\text{[math]}$ 經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn) $\text{[math]}$ ，正比例函數(shù) $\text{[math]}$ 與拋物線交于點(diǎn) $\text{[math]}$ ．
1. （1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
2. （2）點(diǎn)P是第四象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作 $\text{[math]}$ 軸于點(diǎn)N，交 $\text{[math]}$ 于點(diǎn)M，是否存在點(diǎn)P，使得 $\text{[math]}$ 與以點(diǎn)N、A、P為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
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21. (2022·潮南模擬) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為 $\text{[math]}$ ， OA，OC分別在x軸、y軸上，OB是矩形的對(duì)角線．將 $\text{[math]}$ 繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在y軸上，得到 $\text{[math]}$ ， OD與CB相交于點(diǎn)F，反比例函數(shù) $\text{[math]}$ 的圖象經(jīng)過點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．
1. （1）填空：k的值為；
2. （2）連接FG，求證： $\text{[math]}$ ；
3. （3）在線段OA上找一點(diǎn)P，使得 $\text{[math]}$ 是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出此時(shí)OP的長(zhǎng)．
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22. (2023·邢臺(tái)模擬) 如圖1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分別為邊 $\text{[math]}$ 上的點(diǎn)，且 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1） $\text{[math]}$ 的長(zhǎng)為； $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 的周長(zhǎng)比為；
2. （2）將 $\text{[math]}$ 繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接 $\text{[math]}$ ．
  ①當(dāng) $\text{[math]}$ 旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置時(shí)，求證： $\text{[math]}$ ；
  ②如圖3，當(dāng) $\text{[math]}$ 旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)D在 $\text{[math]}$ 上時(shí)， $\text{[math]}$ ，直接寫出 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 的長(zhǎng)．
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23. (2023·蘇州模擬)
1. （1）如圖①，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E，F(xiàn)分別是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 邊上的動(dòng)點(diǎn)，且 $\text{[math]}$ ，將 $\text{[math]}$ 繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到 $\text{[math]}$ ，可以證明 $\text{[math]}$ ，進(jìn)一步推出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之間的數(shù)量關(guān)系為；
2. （2）在圖①中，連接 $\text{[math]}$ 分別交 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 于P，Q兩點(diǎn)，求證： $\text{[math]}$ ；
3. （3）如圖②，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且 $\text{[math]}$ ，連接 $\text{[math]}$ 分別與邊 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于M，N.當(dāng) $\text{[math]}$ 時(shí)，猜想 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之間存在什么樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
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24. (2021九上·常山期中) 【問題提出】已知有兩個(gè)Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．
1. （1）如圖1，作線段CD，C′D′，分別交AB于點(diǎn)D，交A'B′于點(diǎn)D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，問△BCD與△B'C′D'，△ACD與△A′C′D′是否相似？并選擇其中相似的一對(duì)三角形，說明理由．
2. （2）如圖2，作線段AD，B'D′，分別交BC于點(diǎn)D，交A'C'于點(diǎn)D，若△ACD與△B′C′D′、△ABD與△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度數(shù)．
3. （3）【拓展思考】已知任意兩個(gè)不相似的直角三角形，能否分別作一條直線對(duì)其進(jìn)行分割，使其中一個(gè)三角形所分割得到的兩個(gè)三角形與另一個(gè)三角形所分割得到的兩個(gè)三角形分別對(duì)應(yīng)相似？如果可以，請(qǐng)直接畫出一種分割示意圖；如果不能，請(qǐng)說明理由．
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