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當(dāng)前位置：初中數(shù)學(xué) / 實(shí)踐探究題

1. (2024九上·南山期中) 綜合與實(shí)踐
在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，王老師給每位同學(xué)各發(fā)了一張正方形紙片，請(qǐng)同學(xué)們思考如何僅通過(guò)折紙的方法來(lái)確定正方形一邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)．
【操作探究】
“乘風(fēng)”小組的同學(xué)經(jīng)過(guò)一番思考和討論交流后，進(jìn)行了如下操作：
第 $\text{[math]}$ 步：如圖 $\text{[math]}$ 所示，先將正方形紙片 $\text{[math]}$ 對(duì)折，使點(diǎn) $\text{[math]}$ 與點(diǎn) $\text{[math]}$ 重合，然后展開(kāi)鋪平，折痕為 $\text{[math]}$ ；
第 $\text{[math]}$ 步：將 $\text{[math]}$ 邊沿 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 的位置；
第 $\text{[math]}$ 步：延長(zhǎng) $\text{[math]}$ 于點(diǎn) $\text{[math]}$ ，則點(diǎn) $\text{[math]}$ 邊的三等分點(diǎn)．
證明過(guò)程如下：連接 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ 正方形 $\text{[math]}$ 折疊，
$\text{[math]}$    ▲   ，
又 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ．
由題意可知 $\text{[math]}$ 的中點(diǎn)，設(shè) $\text{[math]}$ 個(gè)單位 $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ ，
在 $\text{[math]}$ 中，可列方程： $\text{[math]}$    ▲   ， $\text{[math]}$ 方程不要求化簡(jiǎn) $\text{[math]}$
解得： $\text{[math]}$    ▲   ，即 $\text{[math]}$ 邊的三等分點(diǎn)．
“破浪”小組是這樣操作的：
第 $\text{[math]}$ 步：如圖 $\text{[math]}$ 所示，先將正方形紙片對(duì)折，使點(diǎn) $\text{[math]}$ 與點(diǎn) $\text{[math]}$ 重合，然后展開(kāi)鋪平，折痕為 $\text{[math]}$ ；
第 $\text{[math]}$ 步：再將正方形紙片對(duì)折，使點(diǎn) $\text{[math]}$ 與點(diǎn) $\text{[math]}$ 重合，再展開(kāi)鋪平，折痕為 $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 翻折得折痕 $\text{[math]}$ 于點(diǎn) $\text{[math]}$ ；
第 $\text{[math]}$ 步：過(guò)點(diǎn) $\text{[math]}$ 折疊正方形紙片 $\text{[math]}$ ，使折痕 $\text{[math]}$ ．
【過(guò)程思考】

（1） “乘風(fēng)”小組的證明過(guò)程中，三個(gè)空的所填的內(nèi)容分別是
$\text{[math]}$ ：， $\text{[math]}$ ：， $\text{[math]}$ ：；
（2）結(jié)合“破浪”小組操作過(guò)程，判斷點(diǎn) $\text{[math]}$ 是否為 $\text{[math]}$ 邊的三等分點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；
（3）【拓展提升】
如圖 $\text{[math]}$ ，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 上的一個(gè)三等分點(diǎn)，記點(diǎn) $\text{[math]}$ 關(guān)于 $\text{[math]}$ 的對(duì)稱點(diǎn)為 $\text{[math]}$ ，射線 $\text{[math]}$ 與菱形 $\text{[math]}$ 的邊交于點(diǎn) $\text{[math]}$ ，請(qǐng)直接寫出 $\text{[math]}$ 的長(zhǎng)．

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