1. (2022·青島模擬) 定義：

如果一個正整數(shù)n能表示為兩個正整數(shù)的平方差，那么稱正整數(shù)n為“智慧數(shù)”，即：若正整數(shù)n=a²-b²（a，b為正整數(shù)，且a＞b），則稱正整數(shù)n為“智慧數(shù)”．例如：∵5=3²-2² ， ∴5是“智慧數(shù)”．根據(jù)定義，直接寫出最小的“智慧數(shù)”是．

提出問題：

如果按照從小到大的順序排列起來，那么第2022個“智慧數(shù)”是哪位數(shù)？

探究問題：

要解答這個問題，我們先要明白“智慧數(shù)”產(chǎn)生的規(guī)律．

探究1：“智慧數(shù)”一定是什么數(shù)？

假設n是“智慧數(shù)”，則至少存在一組正整數(shù)a、b，使n=a²-b²（a，b為正整數(shù)，且a＞b）．

情況1：a、b均為奇數(shù)，或均為偶數(shù)．

分析：

∵a、b均為奇數(shù)，或均為偶數(shù)

∴（a+b）、（a-b）均為偶數(shù)

此時不妨設（a+b）=2c，（a-b）=2d

又∵n=a²-b²=（a+b）（a-b）=4cd

∴a²-b²為4的倍數(shù)，即n為4的倍數(shù)．

情況2：a、b為一奇數(shù)、一偶數(shù)．

分析：

∵a、b為一奇數(shù)、一偶數(shù)

∴（a+b）、（a-b）均為奇數(shù)

此時不妨設（a+b）=2c1，（a-b）=2d1

又∵n=a²-b²=（a+b）（a-b）=4cd2c2d1

∴a²-b²為奇數(shù)，即n為奇數(shù)．

綜上所述：“智慧數(shù)”為奇數(shù)或4的倍數(shù)．

探究2：所有奇數(shù)和4的倍數(shù)都一定“智慧數(shù)”嗎？

我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法，最后得出一般性的結論．

先舉例幾組數(shù)值較小，容易驗證的“智慧數(shù)”（①--⑧），因為“智慧數(shù)”不是奇數(shù)就是4的倍數(shù)，所以我們把這“智慧數(shù)”分成兩類．

情況1：n是奇數(shù)
	分析n=a2-b2	結論
①		3是“智慧數(shù)”
②		5是“智慧數(shù)”
③		7是“智慧數(shù)”
④		9是“智慧數(shù)”
……	……	……
情況2：n是4的倍數(shù)
	分析n=a2-b2	結論
⑤		8是“智慧數(shù)”
⑥		12是“智慧數(shù)”
⑦		16是“智慧數(shù)”
⑧		20是“智慧數(shù)”
……	……	……

情況1：n是奇數(shù)

觀察①②③④中n、a、b的值，容易發(fā)現(xiàn)，每個算式中，n均是奇數(shù)，且a、b的值均為連續(xù)的正整數(shù)．

猜想：所有奇數(shù)都是“智慧數(shù)”．

驗證：設a=k+1，b=k（k≥1，且k為整數(shù)）

∵a²-b²=（k+1）²-k²=2k+1

∴2k+1是“智慧數(shù)”

又∵k≥1

∴2k+1≥3，即2k+1表示所有奇數(shù)（1除外）

∴所有奇數(shù)（1除外）都是“智慧數(shù)”

應用：

請直接填空：∵11= 2-2   ∴11是“智慧數(shù)”

情況2：n是4的倍數(shù)．

觀察⑤⑥⑦⑧中n、a、b的值，容易發(fā)現(xiàn)，每個算式中，n均是4的倍數(shù)，且a、b的差都為2．

猜想：所有4的倍數(shù)都是“智慧數(shù)”．

驗證：設a=k+2，b=k（k≥1，且k為整數(shù)）

∵a²-b²=（k+2）²-k²=4k+4

∴4k+4是“智慧數(shù)”

又∵k≥1

∴4k+4≥8，即4k+4表示所有4的倍數(shù)（4除外）

∴所有4的倍數(shù)（4除外）都是“智慧數(shù)”

應用：

請直接填空：∵24= 2- 2  ∴24“智慧數(shù)”

歸納“智慧數(shù)”的發(fā)現(xiàn)模型：

⑴對所有的正整數(shù)而言，除了1和4之外，其余的奇數(shù)以及4的倍數(shù)是智慧數(shù)．

⑵當1≤n≤4時，只有1個“智慧數(shù)”；

當n≥5時，如果把從5開始的正整數(shù)按照從小到大的順序，依次每個連續(xù)正整數(shù)分成一組（注：組與組之間的數(shù)字互不重復），則每組有個“智慧數(shù)”，且第個數(shù)不是“智慧數(shù)”．

問題解決：

直接寫出：如果按照從小到大的順序排列起來，那么第2022個“智慧數(shù)”是．

實際應用：

若一個直角三角形紙片三邊的長度都是整數(shù)厘米，已知一條直角邊長是12cm，則這個直角三角形紙片的周長最大是cm．