1. (2021·九龍坡模擬) 已知拋物線y＝﹣ x²+bx+c經(jīng)過點A（4，3），頂點為B，對稱軸是直線x＝2.

1. （1） 求拋物線的函數(shù)表達式和頂點B的坐標；
3. （2） 如圖1，拋物線與y軸交于點C，連接AC，過A作AD⊥x軸于點D，E是線段AC上的動點（點E不與A，C兩點重合）；

   （i）若直線BE將四邊形ACOD分成面積比為1：3的兩部分，求點E的坐標；

   （ii）如圖2，連接DE，作矩形DEFG，在點E的運動過程中，是否存在點G落在y軸上的同時點F恰好落在拋物線上？若存在，求出此時AE的長；若不存在，請說明理由.