2019-2023高考數(shù)學(xué)真題分類匯編24 概率及其應(yīng)用（2...

更新時(shí)間：2023-09-05 瀏覽次數(shù)：50 類型：二輪復(fù)習(xí)

一、選擇題

1. (2024高二上·荊門期中) 兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高二上·梅河口開(kāi)學(xué)考) 生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)。若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2019·浙江) 設(shè)0＜a＜1隨機(jī)變量X的分布列是
X
0
a
1
P
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
則當(dāng)a在（0，1）內(nèi)增大時(shí)（）

A . D（X）增大 B . D（X）減小 C . D（X）先增大后減小 D . D（X）先減小后增大

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4. (2019·全國(guó)Ⅰ卷理) 我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化。每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“--"，下圖就是一重卦。在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空題

5. (2022·紅橋模擬) 已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為．

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6. (2024高二上·佛山月考) 將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是.

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7. (2020·浙江) 一個(gè)盒子里有1個(gè)紅1個(gè)綠2個(gè)黃四個(gè)相同的球，每次拿一個(gè)，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出黃球的個(gè)數(shù)為ξ，則P（ξ＝0）＝；E（ξ）＝．

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8. (2024高一下·柳州月考) 從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是.

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9. (2019·全國(guó)Ⅰ卷理) 甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束)。根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率是

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三、解答題

10. 某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來(lái)的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí).加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對(duì)于D級(jí)品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下：
甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表

等級(jí)

A

B

C

D

頻數(shù)

40

20

20

20

乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表

等級(jí)

A

B

C

D

頻數(shù)

28

17

34

21
1. （1）分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率；
2. （2）分別求甲、乙兩分廠加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)?
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11. (2020·江蘇) 甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為X_n ，恰有2個(gè)黑球的概率為p_n ，恰有1個(gè)黑球的概率為q_n ．
1. （1）求p₁·q₁和p₂·q₂；
2. （2）求2p_n+q_n與2p_n-1+q_n-1的遞推關(guān)系式和X_n的數(shù)學(xué)期望E(X_n)(用n表示) ．
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12. (2020·北京) 某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：

	男生		女生
	支持	不支持	支持	不支持
方案一	200人	400人	300人	100人
方案二	350人	250人	150人	250人

假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立．

（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；

（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；

（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案的概率估計(jì)值記為 $\text{[math]}$ ，假設(shè)該校年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為 $\text{[math]}$ ，試比較 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 的大小．（結(jié)論不要求證明）

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13. (2019·江蘇) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)集 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ .從集合M_n中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離.
1. （1）當(dāng)n=1時(shí)，求X的概率分布；
2. （2）對(duì)給定的正整數(shù)n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.
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14. (2022高二下·合肥期中) 設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為 $\text{[math]}$ .假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.
（Ⅰ）用 $\text{[math]}$ 表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量 $\text{[math]}$ 的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅱ）設(shè) $\text{[math]}$ 為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件 $\text{[math]}$ 發(fā)生的概率.

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15. (2020高二下·唐山期中) 11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10：10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10：10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.
1. （1）求P（X=2）；
2. （2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.
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16. (2019·全國(guó)Ⅰ卷理) 為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)。試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥。一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)。當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效。為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分：若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分：若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分。甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X。
1. （1）求X的分布列；
2. （2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分，p_i(i=0，1，…，8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效“的概率，則P₀=0，P₈=1，p_i=ap_i-1+bp_i+cp_i+1(i=1，2，…，7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)。假設(shè)α=0.5，β=0.8。
  (i)證明： $\text{[math]}$ （i=0，1，2，…，7）為等比數(shù)列；
  
  (ii)求P₄ ，并根據(jù)P₄的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性。
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